全微分的定义及性质-高等数学及其应用（下）

1.全微分

类似于一元函数微分的定义,可给出二元函数微分的定义.

定义8.5　如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量

可表示为

其中,A,B 不依赖于Δx,Δy 而仅与x,y 有关,则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,而称AΔx +BΔy 为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分,记作dz,即

如果函数在区域D 内各点处都可微分,那么称这函数在D 内可微分.

如果z=f(x,y)在点(x,y)可微,则

因此,函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续. 由此可知,可微与连续的关系是可微必连续. 函数可微分的条件:

定理8.2(可微的必要条件)　如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,则函数在该点的偏

证　设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分,于是,对点P 的某个邻域内的任意一点P′∈(x+Δx,y+Δy),有Δz=AΔx+BΔy+o(ρ).特别当Δy=0 时,有

上式两边各除以Δx,再令Δx→0 而取极限,就得

在点(0,0)处有fx(0,0) =0 及fy(0,0) =0,所以这是因为当点P′(Δx,Δy)沿直线y=x 趋于(0,0)时

定理1 和定理2 的结论可推广到三元及三元以上函数.

按习惯,自变量的增量Δx,Δy 分别记作dx,dy,并分别称为自变量的微分,则函数z=f(x,y)的全微分可写为

二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和,称为二元函数的微分符合叠加原理.叠加原理也适用于二元以上的函数.例如,函数u=f(x,y,z)的全微分为

解　因为

所以(www.xing528.com)

例8　计算函数z=ln(1 +x2 +y2)在点(1,2)处,当Δx=0.1,Δy= -0.2 的全微分.

解　因为

所以在点(1,2)处,当Δx=0.1,Δy= -0.2 的全微分为

例9　计算函数u=xyz的全微分.

解　因为

所以

※2.全微分在近似计算中的应用

上式也可写为

与一元函数的情形类似,可利用这两式对二元函数做计算和误差估计.

习题8.2

1.求下列函数的偏导数:

2.设函数f(x,y) =x+y- x2 +y2,求fx(3,4).

3.设函数f(x,y) =(1 +xy)y,求fy(1,1).

4.求下列函数的所有二阶偏导数:

8.求下列函数的全微分: