多元函数及其应用(物品价格与购买量的关系)

一元函数微分学讨论的是一个自变量与因变量的关系,但在现实问题中,因变量往往受到多个自变量因素的影响.因此,有必要研究多元函数.

很多自然现象及实际问题所涉及的函数往往依赖于两个或两个以上的自变量,下面举几个例子.

(1)设长方形的长和宽分别为x 和y,则面积A=xy.这里,A 依赖于两个彼此独立的变量x和y,称面积A 为长和宽的二元函数.

(2)商品总价等于单价乘购买量,因此,可称商品总价为单价和购买量的二元函数.

(3)电流通过导体所产生的热量Q 与电压U、电流I 及时间t 的关系为:Q=UIt.

通过这几个例子可知,现实事物中的一些量受到多个变量因素的影响.因此,就产生了多元函数的概念.本节主要研究二元函数及其有关概念.

定义8.1　设x,y,z 是3 个变量,如果变量x,y 在一定范围内变化时,对x,y 的每一组取值,变量z 按照某个法则f 总有唯一确定的值与x,y 对应,则称此对应法则是变量x,y 的二元函数,记为z=f(x,y)或z=z(x,y),并称变量x,y 为二元函数的自变量,称变量z 为因变量.

与一元函数类似,将自变量x,y 的变化范围,称为二元函数z=f(x,y)的定义域.当自变量取遍定义域所有值对应的函数值,称为二元函数z=f(x,y)的值域.(www.xing528.com)

类似地,可定义三元函数u=f(x,y,z),(x,y,z)∈D 以及三元以上的函数.

一般地,在讨论用算式表达的多元函数z =f(x,y)时,就以使这个算式有意义的变元x,y的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域.

一元函数y=f(x)的几何图形通常是平面上的曲线,与之类似,二元函数z =f(x,y)的几何图形通常表示空间中的曲面(见图8.1).

图8.1

例如,z=ax+by+c 是一张平面,而函数z=x2 +y2 的图形是旋转抛物面.