高数应用：空间曲线方程

1.空间曲线的一般方程

空间曲线可看成两个曲面的交线. 设两个曲面S1 与S2 的方程分别为F(x,y,z) =0 和G(x,y,z) =0,则这两个曲面的交线C 上的任意点P(x,y,z)同时满足这两个方程;反之,不在曲线C 上的点M(x,y,z)的坐标不满足方程组,所以空间曲线C 的方程可表示为

图7.35

称式(10)为空间曲线C 的一般式方程.

例5　方程组

表示怎样的曲线?

解　方程组中第一个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面,其准线是xOy 面上得圆x2 +y2 =1;第二个方程表示一个平行y 轴的平面.因此,方程组表示平面与圆柱面的交线(见图7.36).

例6　方程组表示怎样的曲线?

解　方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O,半径为2 2 的球面;第二个方程表示开口朝向z 轴正方向的圆锥面.因此,该方程组表示球面与圆锥面的交线.它是空间中的一个圆,其圆心在点(0,0,2),半径为2(见图7.37).

图7.36

图7.37

应当指出,对同一条曲线C,可由过曲线C 的任意两个不同的曲面相交而成.因此,空间曲线C 的方程不唯一.例如,上述方程组所表示的曲线也可由下列方程组表示

2.空间曲线的参数方程

与平面曲线的参数方程类似,空间曲线C 也可用参数形式表示,只要将C 上动点的坐标z,y,z 表示为参数t 的函数

图7.38

当t=t1 给定时,就得到C 上得一个点(x1,y1,z1),随着t 的变动得到曲线C 上的全部点. 方程(11)称为空间曲线的参数方程.

*例7　如果空间一点M 在圆柱面x2 +y2 =a2 上以角速度ω 绕z 轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中,ω,v 都是常数),那么点M 构成的图形,称为螺旋线.试建立其参数方程.

解　设时间t 为参数,当t =0 时,动点位于x 轴上一点M0(a,0,0)处.经过时间t,动点由M0 运动到M(x,y,z)(见图7.38).记M 在xOy 面上得投影点为M′,则M′的坐标为(x,y,0).经过时间t,∠M0OM′=ωt,从而

由于动点同时以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升,因此

故螺旋线的参数方程为

3.空间曲线在坐标面上的投影

一般地,设空间曲线C 的一般方程为

因此,从方程(12)中消去变量z 后所得的方程

就是曲线C 关于xOy 面的投影柱面.而方程组

是空间曲线C 在xOy 面上的投影曲线.

如例6 所表示的空间曲线C

消去变量z 后得到方程

它就是曲线C 关于xOy 坐标面的投影柱面.投影柱面与xOy 面的交线C′,即

称为空间曲线在C 在xOy 面上的投影曲线,简称投影.(https://www.xing528.com)

同理,消去方程组(12)中的变量x 或变量y,就得到空间曲线C 在yOz 面或zOx 面上的投影曲线方程

例8　求旋转抛物面z=x2 +y2 和平面x-z+1 =0 的交线在3 个坐标面上的投影曲线.

解　由方程组

消去变量z,得投影柱面x2 +y2 -x-1 =0.从而得到交线C 在xOy 面上的投影曲线方程为

它表示一个圆.

同理,交线C 在yOz 面上的投影曲线方程为

它也表示一个圆.

最后,由于交线在平面x -z +1 =0 上,而该平面垂直于xOz 面.因此,交线C 在xOz 面上得投影曲线方程为

这是一条直线段,且

4.空间立体图形的投影

在以后重积分和曲面积分的计算中,往往需要确定一个立体或曲面在坐标面上的投影或投影区域,这就要利用投影柱面和投影曲线来确定.下面举例加以说明.

例9　求由抛物面z=4(x2 +y2)与平面z=2 所围成的立体在xOy 面上的投影区域.

解　将两个曲面方程联立并消去z,得到交线C 关于xOy 面的投影柱面方程

因此,交线C 在xOy 面上的投影曲线为

这是xOy 面上的一个圆.于是,立体在xOy 面上的投影区域就是该圆在xOy 面上所围成的区域

解　半球面和锥面的交线C 为

消去z,得到交线C 关于xOy 面的投影柱面x2 +y2 =1.因此,交线C 在xOy 面上得投影曲线为

于是,立体在xOy 面上的投影,就是xOy 面上的圆形区域

习题7.5

1.画出下列曲线在第一卦限内的图形:

2.指出下列方程所表示的曲线:

3.写出下列旋转曲面的方程,并画出它们的图形:

(1)求yOz 平面上的曲线z=y2 绕z 轴旋转所得的旋转曲面;

(2)求xOy 平面上的曲线x2 +y2 =9 绕y 轴旋转所得的旋转曲面;

(3)求yOz 平面上的曲线4x2 -9y2 =36 分别绕x 轴和y 轴旋转所得的旋转曲面;

(4)求zOx 平面上的曲线x=2z 绕z 轴旋转所得的旋转曲面.

4.求下列曲线在坐标面上的投影方程,并画出该曲线所围成的区域:

数学文化赏析

5.求球面x2 +y2 +z2 =9 与平面x+z=1 的交线在xOy 平面上的投影方程.

【验证性实验】