高数应用：空间曲线方程

1.空间曲线的一般方程

空间曲线可看成两个曲面的交线. 设两个曲面S1 与S2 的方程分别为F(x,y,z) =0 和G(x,y,z) =0,则这两个曲面的交线C 上的任意点P(x,y,z)同时满足这两个方程;反之,不在曲线C 上的点M(x,y,z)的坐标不满足方程组,所以空间曲线C 的方程可表示为

图7.35

称式(10)为空间曲线C 的一般式方程.

例5　方程组

表示怎样的曲线?

解　方程组中第一个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面,其准线是xOy 面上得圆x2 +y2 =1;第二个方程表示一个平行y 轴的平面.因此,方程组表示平面与圆柱面的交线(见图7.36).

例6　方程组表示怎样的曲线?

解　方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O,半径为2 2 的球面;第二个方程表示开口朝向z 轴正方向的圆锥面.因此,该方程组表示球面与圆锥面的交线.它是空间中的一个圆,其圆心在点(0,0,2),半径为2(见图7.37).

图7.36

图7.37

应当指出,对同一条曲线C,可由过曲线C 的任意两个不同的曲面相交而成.因此,空间曲线C 的方程不唯一.例如,上述方程组所表示的曲线也可由下列方程组表示

2.空间曲线的参数方程

与平面曲线的参数方程类似,空间曲线C 也可用参数形式表示,只要将C 上动点的坐标z,y,z 表示为参数t 的函数

图7.38

当t=t1 给定时,就得到C 上得一个点(x1,y1,z1),随着t 的变动得到曲线C 上的全部点. 方程(11)称为空间曲线的参数方程.

*例7　如果空间一点M 在圆柱面x2 +y2 =a2 上以角速度ω 绕z 轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中,ω,v 都是常数),那么点M 构成的图形,称为螺旋线.试建立其参数方程.

解　设时间t 为参数,当t =0 时,动点位于x 轴上一点M0(a,0,0)处.经过时间t,动点由M0 运动到M(x,y,z)(见图7.38).记M 在xOy 面上得投影点为M′,则M′的坐标为(x,y,0).经过时间t,∠M0OM′=ωt,从而

由于动点同时以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升,因此

故螺旋线的参数方程为

3.空间曲线在坐标面上的投影

一般地,设空间曲线C 的一般方程为

因此,从方程(12)中消去变量z 后所得的方程

就是曲线C 关于xOy 面的投影柱面.而方程组

是空间曲线C 在xOy 面上的投影曲线.

如例6 所表示的空间曲线C

消去变量z 后得到方程

它就是曲线C 关于xOy 坐标面的投影柱面.投影柱面与xOy 面的交线C′,即

称为空间曲线在C 在xOy 面上的投影曲线,简称投影.(www.xing528.com)

同理,消去方程组(12)中的变量x 或变量y,就得到空间曲线C 在yOz 面或zOx 面上的投影曲线方程

例8　求旋转抛物面z=x2 +y2 和平面x-z+1 =0 的交线在3 个坐标面上的投影曲线.

解　由方程组

消去变量z,得投影柱面x2 +y2 -x-1 =0.从而得到交线C 在xOy 面上的投影曲线方程为

它表示一个圆.

同理,交线C 在yOz 面上的投影曲线方程为

它也表示一个圆.

最后,由于交线在平面x -z +1 =0 上,而该平面垂直于xOz 面.因此,交线C 在xOz 面上得投影曲线方程为

这是一条直线段,且

4.空间立体图形的投影

在以后重积分和曲面积分的计算中,往往需要确定一个立体或曲面在坐标面上的投影或投影区域,这就要利用投影柱面和投影曲线来确定.下面举例加以说明.

例9　求由抛物面z=4(x2 +y2)与平面z=2 所围成的立体在xOy 面上的投影区域.

解　将两个曲面方程联立并消去z,得到交线C 关于xOy 面的投影柱面方程

因此,交线C 在xOy 面上的投影曲线为

这是xOy 面上的一个圆.于是,立体在xOy 面上的投影区域就是该圆在xOy 面上所围成的区域

解　半球面和锥面的交线C 为

消去z,得到交线C 关于xOy 面的投影柱面x2 +y2 =1.因此,交线C 在xOy 面上得投影曲线为

于是,立体在xOy 面上的投影,就是xOy 面上的圆形区域

习题7.5

1.画出下列曲线在第一卦限内的图形:

2.指出下列方程所表示的曲线:

3.写出下列旋转曲面的方程,并画出它们的图形:

(1)求yOz 平面上的曲线z=y2 绕z 轴旋转所得的旋转曲面;

(2)求xOy 平面上的曲线x2 +y2 =9 绕y 轴旋转所得的旋转曲面;

(3)求yOz 平面上的曲线4x2 -9y2 =36 分别绕x 轴和y 轴旋转所得的旋转曲面;

(4)求zOx 平面上的曲线x=2z 绕z 轴旋转所得的旋转曲面.

4.求下列曲线在坐标面上的投影方程,并画出该曲线所围成的区域:

数学文化赏析

5.求球面x2 +y2 +z2 =9 与平面x+z=1 的交线在xOy 平面上的投影方程.

【验证性实验】