两平面夹角计算方法-高等数学及其应用（下）

1.两平面的夹角

两平面的法向量所夹的锐角,称为两平面的夹角.

设平面Π1 和Π2 的法向量依次为n1 = (A1,B1,C1)和n2 =(A2,B2,C2),那么平面Π1 Π2 的夹角为θ(见图7.18).

图7.18

从而可求出两平面的夹角.

从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论:

Π1,Π2 互相垂直相当于

Π1,Π2 互相平行或重合相当于

例4　求两平面x-y+2z-6 =0 和2x+y+z-5 =0 的夹角.

解　由已知可得

再由式(5)有

于是,得到点p0(x0,y0,z0)到平面Π:Ax+By+Cz+D=0 的距离为

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例5　求点p(2,1,1)到平面x+y-z+1 =0 的距离.

解　已知p(2,1,1),n=(1,1,-1) 利用式(6),可得

习题7.3

1.求下列平面的方程:

(1)经过点( -1,2,1),法向量为n=(1,-1,2);

(2)经过点(3,2,-1),法向量为n=(0,1,2).

2.求过点(3,0,-5),且与平面2x-8y+z-2 =0 平行的平面方程.

3.过点(3,0,-1)且与平面3x-7y-5z-12 =0 平行的平面方程.

4.求过3 点的平面方程:

(1)P1(1,1,-1),P2( -2,-2,2)和P3(1,-1,2);

(2)P1(4,2,1),P2( -1,-2,2)和P3(0,4,-5).

5.设平面Π 经过两点P1(1,1,1)和P2(2,2,2),且与平面x +y -z =0 垂直,求平面Π 的方程.

6.一平面平行于xOz 坐标面且过点(2,-5,3),求此平面方程.

7.一平面通过y 轴且过点(2,-5,3),求此平面方程.

8.求两平面2x-y+z=7 与x+y+2z=11 之间的夹角.

9.求点(1,2,1)到平面x+2y+2z-10 =0 的距离.

10.平面过点(1,-4,5)且在各坐标轴上的截距相等,求此平面方程.