傅里叶级数展开：2π周期函数

设f(x)是以2π 为周期的函数,若f(x)可表示成三角级数,即

设f(x)在[ -π,π]上连续,级数逐项可积.由三角函数系的正交性,得

即三角级数的系数a0,an,bn 是由f(x)唯一确定

称其为f(x)的傅里叶系数,以此作为系数的三角级数称为傅里叶级数.

定理6.9[傅里叶级数的收敛性定理(狄利克雷充分条件)]　设=f(x)的周期为2π,且在一个周期[ -π,π]内,满足:

(1)连续或有有限个第一类的间断点;

(2)只有有限个极值点.

则f(x)展开成傅里叶级数.

在f(x)连续点,级数收敛于f(x);

例1　设f(x)以2π 为周期,且在一个周期[ -π,π)内的表达式为

试将f(x)展开成傅里叶级数.

解　以2π 为周期的函数f(x)如图6.1 所示.

图6.1

在间断点x=kπ 处,级数收敛于左右极限的平均值0,即

图6.2

f(x)的傅里叶级数的和函数的图如图6.2 所示.

定理6.10　设f(x)在[-π,π]上满足收敛定律的条件.(www.xing528.com)

若f(x)是[-π,π]上的奇函数,则傅里叶系数

若f(x)是[-π,π]上的偶函数,则傅里叶系数

注意　对在[0,π]上有定义的函数,根据要求可将其分别展开成正弦级数或余弦级数.

其方法如下:

(1)将f(x)奇延拓(或偶延拓)为[-π,π]上的奇函数(或偶函数).

(2)再将(1)中的函数以2π 为周期作周期延拓,然后展开.

(3)讨论傅里叶级数在[0,π]上的收敛性.

例2　设f(x) =π-x,x∈[0,π],分别将f(x)展开成:

(1)正弦级数;　　　　　　　　(2)余弦级数.

解　(1)将f(x)奇延拓后再周期延拓如图6.3 所示.

图6.3

因为f(x)奇延拓后为奇函数,则

(2)将f(x)偶延拓后再周期延拓如图6.4 所示.

图6.4

因为f(x)偶延拓后为偶函数,则

所以f(x)的余弦数为