幂级数运算与性质：简明高数应用（下）

1.幂级数的加减运算

在( -R,R)内收敛.其中,R=min{R1,R2}.

2.幂级数和函数性质

幂级数的和函数有下述性质(证明略).

(1)S(x)在(-R,R)内连续;

(2)S(x)在(-R,R)内可积,而且可逐项积分,即

逐项积分或逐项求导后,所得幂级数和原级数有相同的收敛半径和收敛区间.应用幂级数的和函数性质和几何级数和函数的结论,可求得一些幂级数的和函数.

对上式两边从0 到x 积分,注意到S(0),有

例9(数学建模)　某合同规定,从签约之日起,由甲方永不停止地每年支付给乙方300 万元人民币.设利率为每年5%,分别以年复利计算利息和连续复利计算利息,则该合同总的现值是多少?

解　(1)以年复利计算利息,则:

也就是说,若按年复利计息,甲方需存入63 百万元,即可支付乙方及他的后代每年3 百万元直至永远.

(2)以连续复利计算利息,则:(www.xing528.com)

第一笔付款现值(单位:百万元) =3;

第二笔付款现值(单位:百万元) =3e -0.05;

第三笔付款现值(单位:百万元) =3(e -0.05)2;

这样连续下去直至永远,则总的现值为3 +3e -0.05 +3(e -0.05)2 +…+3(e -0.05)n +….

这是一个公比x=e -0.05≈0.951 2 的几何级数,显然该级数收敛.

也就是说,若按连续复利计算,甲方需要存入61.5 百万元,即可支付乙方及他的后代每年3 百万元直至永远.

显然,为了同样的结果,连续复利所需的现值比年复利所需的现值小一些,或者说,连续复利的有效收益要更高些.

习题6.3

1.求下列幂级数的收敛域:

2.利用逐项积分或逐项求导,求下列级数的和函数: