二阶齐次线性微分方程求解

二阶常系数齐次线性微分方程的形式为

其中,p,q 均为常数.

对方程(2),容易验证其解的结构有以下定理:

下面用代数的方法求得方程(2)的两个特解.

由方程(2)的形式可知,y″,y′,y 与常数1,p,q 乘积的和等于0.因此,y″,y′,y 为同一类型函数,它们之间相差至多为实数.而指数函数y=erx(r 为实数)恰有这个特点,y =erx及其各阶导数至多差一个实数r.因此,试用函数y=erx,选取适当的常数r,使y=erx满足方程(2).

将y=erx代入方程(2),得

由于erx≠0,因此上式等价于r 的一元二次方程

称方程(3)为方程(2)的特征方程,并称方程(3)的根为方程(2)的特征根.

因此,求微分方程(2)的解就归结为求解它的特征方程.根据特征根r1 与r2 有3 种不同的情形,可得到二阶常系数齐次线性微分方程的通解.

(1)当p2 -4q ＞0 时,特征方程有相异实根r1≠r2,即方程(2)有两个特解

(2)当p2 -4q=0 时,特征方程有重根r.因此,方程(2)有一个特解

(3)当p2 -4q ＜0 时,特征方程有两个共轭复根

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综上所述,二阶常系数齐次线性微分方程的通解见表5.1.

表5.1　二阶常系数齐次线性微分方程的通解

例1　求微分方程y″-5y′+6y=0 的通解.

解　特征方程为

特征根为r1 =3,r2 =2,故方程的通解为

例2　求微分方程y″-4y′+4y=0 的通解.

解　特征方程为

特征根为r1 =r2 =2,故方程的通解为

例3　求微分方程y″-2y′+5y=0 的通解.

解　特征方程为

特征根为r1 =1 +2i,r2 =1 -2i,故方程的通解为