高数下：可分离变量微分方程解析

形如

的一阶微分方程,称为可分离变量微分方程.

其解法是将变量分离,使自变量x 及其微分dx,未知函数y 及其微分dy 分离到等号的两边,即上式化为

其中,eC1为任意正常数.

去掉绝对值记号,将正负号转移到常数上,可记C= ±eC1.因此,方程的通解为

经检验,当C=0 时,y=0 仍是原方程的解.不难验证,y=Cex2的确使原方程成为恒等式.

为了简便,以后再遇到类似情形时,不再详细写出处理绝对值正负记号的过程.例如,本例可直接把求解过程写成:

分离变量后,得

例3 (驾驶者酒驾问题)　设警方对驾驶员饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80%(mg/mL).现有一起交通事故,在事故发生3 h 后,测得驾驶员血液中酒精含量为56%(mg/mL).又过2 h 后, 测得驾驶员血液中酒精含量降为40%(mg/mL).试判断事故发生时,驾驶员是否违反了血液中酒精含量的规定?

解　设x(t)为时刻t 的驾驶员血液中酒精的含量, 依题意得

其中,k ＞0 为比例常数. 因为酒精含量随时间推移是递减的, 所以k 前有负号. 由初始条件x(0) =x0,得x=x(t)满足微分方程的初值问题为(www.xing528.com)

解可分离变量方程

两边积分,得

故通解为

由初始条件x(0) =x0,得C=x0.于是,驾驶员血液中酒精含量x(t)随t 变化的规律为

则x0 =x(0)为所求.

又由x(3) =56,x(5) =40,代入x(0) =x0,可得

将k=0.17 代入,得

故事故发生时,驾驶员血液中酒精含量已超出规定.

*例4　设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气阻力与速度成正比.又设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为零,求降落伞下落速度与时间的函数关系.

解　设降落伞下落速度为v(t).降落伞在空中下落时,同时受到重力P 与阻力R 的作用.重力大小为mg,方向与v 一致;阻力大小为kv(k 为比例系数),方向与v 相反.因此,降落伞所受外力为