微分方程基本概念及应用

为便于阐述微分方程的基本概念,先来考察两个简单的实际例子.

例1 (冷却一个煮熟了的鸡蛋问题)　一个煮熟了的鸡蛋有98 ℃,把它放在18 ℃的水池里.5 min之后,鸡蛋的温度是38 ℃.假定没有感到水变热,鸡蛋到达20 ℃需要多长时间?

解　设在t 时刻,鸡蛋温度为T(t).由牛顿冷却定律(物体的温度在任何给定时刻变化的速率大致地正比于它的温度和周围介质温度之差)可得

其中,k 为比例常数.

由题意,令T=20 ℃,得

故物体从98 ℃冷却到20 ℃需13 min.

例2　设有一个质量为m 的物体,以初始速度v0 垂直上抛,开始上抛时的位移(高度)为s0.设此物体的运动只受重力的影响,试确定该物体运动的位移s 与时间t 的函数关系.

解　设位移与时间的函数关系为s=s(t),因为物体运动的加速度是位移s 对时间t 的二阶导数,且假设只受重力的影响,所以根据牛顿第二定律有

即

其中,g 是重力加速度,它是一常数.

因为物体运动速度v=v(t) =s′,所以上式改写为

其中,C1,C2 是两个任意常数.

由题设初始速度为v0,且开始上抛时的位移为s0,代入上式,得C1 =v0,C2 =s0.于是

即所求的函数关系.

上面两个例子就是利用函数的导数或微分建立了函数关系,并解决了有关问题.下面介绍微分方程的一般概念.

定义5.1　含未知函数的导数或微分的方程,称为微分方程.微分方程中未知函数的导数的最高阶数,称为微分方程的阶.

未知函数为多元函数,从而出现多元函数的偏导数的方程,称为偏微分方程.

本章简要介绍微分方程初步知识,因此,后文提到微分方程或方程时,均指常微分方程.

定义5.2　若某个函数代入微分方程中,能使该方程成为恒等式,则称此函数为该微分方程的解.

如果微分方程的解中包含任意独立的(即不可合并而使个数减少的)常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解被称为微分方程的通解;在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解,称为特解.(www.xing528.com)

一般地,特解是当自变量取定某个特定值时确定的解,这种特定条件称为微分方程的初值条件.例如,例1、例2 初值问题的微分方程分别表示为

例3　验证y=C1cos x+C2sin x+x 是微分方程y″+y=x 的解;并求满足初始值y(0) =1,y′(0) =3 的特解.

解　由于

将y″,y 代入方程左边

函数y=C1cos x+C2sin x+x 及其导数代入y″+y=x 后成为一个恒等式.

因此,函数y=C1cos x+C2sin x+x 是微分方程y″+y=x 的解.

将条件y(0) =1,y′(0) =3 代入y 及y′的表达式,得

解得C1 =1,C2 =2,故所求的特解为

习题5.1

1.指出下列各微分方程的阶数:

(1)(2x-y2)dx+(x2 +y)dy=0;　　　　　　(2)x(y′)3 -2y″=0;

(3)x3y‴-2y″-y=0;(4)x2(y′)3 -2y′=0.

2.验证下列各给定函数是否为对应微分方程的解:

(1)xy′=2y,y=5x2;

(2)y″+y=0,y=3 sin x-4 cos x;

(3)y″-2y′+y=0,y=x2ex;

(4)y″=1 +(y′)2,y=x2 +C.

3.确定下列函数中任意常数C1,C2 的值,使函数满足所给的初值条件: