小波最近邻抽样回归耦合模型原理

（一）快速小波变换算法

自从Morlet等人于1982 年的地震波研究中首次提出小波变换，小波分析方法得到了迅速的发展，并被广泛应用于非线性信号分析、图像处理、模型识别、自动控制以及各种工程领域中[7]。小波变换克服了Fourier变换的不足，能够反映出水文时间序列在时频域上的总体特征以及时频局部化信息，被誉为“数学显微镜”[1]。

小波变换包括连续小波变换（continue wavelet transform，CWT）和离散小波变换（discretewavelettransform，DWT）。当采用连续小波变换或离散小波变换对水文时间序列f（t）进行小波分析时，所获得的小波系数信息冗余，计算量较大。因此，在实际应用中，多采用快速小波变换算法来计算小波变换系数。著名的快速小波变换算法包括Mallat算法和ATrous算法，本节采用简单、快捷、计算量小的ATrous算法[1]。

式中：Cj（t）、Wj（t）（j＝1，2，…，P）分别为尺度j 下的尺度系数（背景信号）和小波系数（细节信号）；P 为尺度数，一般认为至多有lgN [N 为序列f（t）的长度]个尺度；h（k）为离散低通滤波器，滤波器一般选用对称紧支撑三阶B 样条，即h（k）＝（1∕16，1∕4，3∕8，1∕4，1∕16）。

称｛W1（t），W2（t），…，WP（t），CP（t）｝为在尺度P 下的小波变换序列。

（二）基本思路

采用快速小波变换算法对水文时间序列进行小波分解，得到小波变换序列，然后根据最近邻（相似性）原理分别建立各小波变换序列的最近邻抽样回归模型（nearest neigh_borbootstrapregressivemodel，简称NNBR模型），最后将得到的各小波变换序列的预测值按照小波逆变换算法进行重构即可得到原始水文时间序列的预测值[1]，称为小波最近邻抽样回归耦合模型（简称W－NNBR耦合模型）。(www.xing528.com)

（三）最近邻抽样回归模型

根据研究对象的不同，NNBR模型可以分为单因子NNBR模型和多因子NNBR模型两种形式。本节研究的年降水序列采用单因子NNBR模型。

1.单因子NNBR模型构造

根据上述思想，单因子NNBR模型的基本形式为：

（四）W－NNBR耦合预测模型

采用ATrous重构算法将各小波变换序列NNBR模型预测值进行叠加，得到原始水文时间序列W－NNBR耦合模型预测值。重构过程为：