古琴音律智能分析及效果展示

古琴是七弦琴，它的音律同时使用了“三分损益律”与纯律[149]，古琴的音色中散音的发生由“三分损益律”产生，而泛音则由纯律产生。为了演奏泛音，古琴在制作的时候，在琴面上画出了十三个徽位，这些徽位以琴弦的岳山到龙龈为总长，二等分处为七徽，三等分之处为五徽和九徽，四等分之处为四徽、七徽和十徽，五等分之处为三徽、六徽、八徽和十一徽，六等分之处为二徽、五徽、七徽、九徽和十二徽，八等分之处为一徽、四徽、七徽、十徽和十三徽，按弦长和频率成反比来分析，这些十三徽的产生符合纯律的生律规则。表8-1对十三徽与整条琴弦的比例关系进行的描述。

表8-1　古琴十三徽徽位信息

古琴七根空弦的音高，一般为五声调式，其中的四弦中，两两互为八度关系，构成了徵、羽、宫、商、角、清徵、清羽七声。古琴音域宽广，正调下从国际标准音名大字组C到小字三组的d3，共有四个八度零一个大二度，最多可包含有51个不同音高的乐音。古琴的定弦法，一般有三种，分别是按音定弦法、泛音定弦法和散音定弦法。在正调定弦法中，先确定第三弦的音高，作为宫音，接着确定第一弦和第六弦的音高，接着在此基础上确定第四弦的音高，再确定第二弦和第七弦的音高，最后确定第五弦的音高。如图8-2所示为按音定弦法的定弦顺序。

图8-2　古琴琴弦的按弦定弦法

如图8-2所示，在古琴七弦的按音定弦法用到的9徽和10徽，由表8-1可知，它们对应的频率比分别是4/3和3/2，这正是“三分损益法”的音律构建比例，假设第1弦到第7弦的散音频率分别用p1～p7表示，可以得出如下的各弦散音的频率之比：

一、琴律建模

下面通过建模来计算正调下的各弦和各徽位的频率，然后以十二平均律的频率为标准，利用最近邻法和K-means聚类算法对各弦散音和各徽的泛音和按音进行归类，分析归类规律。建模过程如下：

（1）假设正调下第三弦宫弦的国际绝对音高为大字组F音，第五弦徵弦的国际绝对音高为大字组A音，大字组A音的频率为110。

（2）按上述公式（8-1）和表8-1，分别计算七弦散音的频率和七弦十三徽的按音和泛音的频率，共得到98个频率值。

（3）对所有的散音、按音和泛音进行统计分析。

（4）按大字一组A音的频率为55，利用十二平均律向上计算55个音的频率，其Matlab代码如下：

（5）比较和分析散音、按音、泛音和十二平均律乐音的频率差。

（6）利用最近邻法对所有的按音分别归类到十二平均律的对应乐音中，其分类过程如下：①对于任意一个待分类频率p，计算p与数组TwelveToneEqualTemperament中每个元素的差的绝对值，组成绝对值差数组，记为pT；②找出数组pT中的最小元素，记此最小元素的下标为k；③待分类频率p属于十二平均律中下标为k的乐音。循环上述三步，确定所有的散音、按音和泛音的十二平均律乐音类别。

（7）对泛音进行（6）过程。

（8）利用K-Means聚类算法，对按音分别归类到十二平均律的对应乐音中，其分类过程如下：①把十二平均律计算得到的56个频率加入到琴律的按音构成样本频率集D，其中d表示D的一个样本；②创建以十二平均律的k=56个频率作为k个簇的起始均值；③对每个样本d，计算它到k个簇的均值之间的距离，取其中距离最短的距离对应的均值的标记作为该样本的簇标记，然后将该样本加入相应的簇；④对每一个簇计算他们新的均值；⑤如果相比之前的均值有变化，就更新，将其作为新的均值，如果没有变化就不变。循环对D的所有样本d进行以上三步，循环次数1000次，若相邻两次循环时的分类结果相同，则停止循环。(www.xing528.com)

（9）对泛音进行（8）过程。

（10）比较最近邻法和K-means聚类算法的分类结果。

二、实验结果

由建模第（2）步可以得到图8-3各弦泛音和按音的频率计算的结果。如图8-3所示，在泛音情况下，各弦不同徽位的频率以七徽为对称轴，呈现左右对称的现象，在按音情况下，各弦不同徽位的频率按徽位大小逐步下降。

图8-3　古琴各琴弦的不同徽位的泛音和按音频率

由建模第（3）步对按音和泛音的相同频率进行统计，见表8-2。由表8-2可知，泛音出现频率相同的徽位较多，如有6个徽位泛音的频率相同的次数出现4次。

表8-2　对相同频率的泛音和按音统计

通过建模过程（5）～（8），分别利用最近邻法和K-means聚类算法对91个泛音和按音进行分类，对分类后的每个泛音和按音与其所属类里的十二平均律计算频率差。91个泛音和91个按音分类后的音高用MIDI码表示，分类结果如图8-4和图8-5所示。

图8-4　按音的最近邻法和K-means聚类算法分类结果

图8-5　泛音的最近邻法和K-means聚类算法分类结果

观察图8-4和图8-5可知，每个最近邻法分类点和K-means聚类算法的分类点都出现在同样空间位置，泛音和按音的最近邻法和K-means聚类算法的分类结果是一样的。然后对每个泛音和按音与其所属类里的十二平均律计算其绝对值频率差，得到图8-6，其中最大的绝对值频率差为7.4033。

图8-6　古琴泛音和按音与其所属类的十二平均律音律的绝对值频率差

古琴艺术作为世界非物质文化遗产之一，在数字信息时代还有大量的数字化保护工作需要攻关与完成。通过对正调下古琴琴弦的泛音和按音两种音色的琴律建模，首次利用人工智能模式的分类方法对音律进行分析，取得了良好的效果。