典型题660：假设检验的概念与决策过程

【主要内容】

1.假设检验的概念

为了对总体X的分布的未知参数作出推断，先提出一个与要推断的结论有关的假设H₀（称为原假设）以及与之对立的假设H₁（称备择假设），然后在H₀为真的条件下，通过选取适当的统计量构造一个小概率事件.将来自X的一个简单随机样本的观察值代入这个统计量，如果上述的小概率事件发生了，就拒绝H₀，接受H₁；否则接受H₀.这个决策过程称为假设检验.

2.一个正态总体的参数的假设检验

设总体X～N（μ，σ²），X₁，X₂，…，X_n是来自X的一个简单随机样本，且记样本均值为X，方差为S².

（1）当σ²已知时，μ=μ₀的显著性水平为α（0<α<1）的假设检验为：H₀：μ=μ₀，H₁：μ≠μ₀，

检验统计量 （将样本观察值代入后的Z记为z），拒绝域z≥z_α/2.

（2）当σ²未知时，μ=μ₀的显著性水平为α（0<α<1）的假设检验为：H₀：μ=μ₀，H₁：μ≠μ₀，

检验统计量 （将样本观察值代入后的T记为t），拒绝域|t|≥t_α/2（n-1）.

（3）当μ未知时，σ²=σ₀²的显著性水平为α（0<α<1）的假设检验为：H₀：σ²=σ₀²，H₁：σ²≠σ₀²，

检验统计量 （将样本观察值代入后的χ²仍记为χ²），拒绝域χ²≤χ²_1-α（n-1）或χ²≥χ²_α（n-1）.

3.两个正态总体的参数的假设检验

设总体X～N（μ₁，σ₁²）和Y～N（μ₂，σ₂²），X₁，X₂，…，和Y₁，Y₂，…，是分别来自X和Y的简单随机样本，它们相互独立，且记X₁，X₂，…，的均值为，方差为S₁²；Y₁，Y₂，…，的均值为，方差为S₂².

（1）当σ₁²，σ₂²已知时，μ₁-μ₂=δ的显著性水平为α（0<α<1）的假设检验为H₀：μ₁-μ₂=δ，H₁：μ₁-μ₂≠δ，

检验统计量 （将样本观察值代入后的Z记为z），拒绝域z≥z_α/2.

（2）当σ₁²=σ₂²=σ²，但σ²未知时，μ₁-μ₂=δ的显著性水平为α（0<α<1）的假设检验为：

H₀：μ₁-μ₂=δ，H1：μ₁-μ₂≠δ，

检验统计量 （将样本观察值代入后的T记为t），拒绝域|t|≥t_α/2（n₁+n₂-2）.

（3）当μ₁，μ₂未知时，σ₁²=σ₂²的显著性水平为α（0<α<1）的假设检验为：H₀：σ₁²=σ₂²，H₁：σ₁²≠σ2²，

检验统计量

拒绝域F≤F_1-α/2（n₁-1，n₂-1）或F≥F_α/2（n₁-1，n₂-1）.

4.两类错误

参数的假设检验中会犯两类错误：第Ⅰ类错误和第Ⅱ类错误.

当原假设H₀为真时，作为拒绝H₀的决策的错误，称为犯第Ⅰ类错误（也称弃真错误）.当原假设H₀不真时，作出接受H₀的决策的错误，称为犯第Ⅱ类错误（也称取伪错误）.显然

P（犯第Ⅰ类错误）=P（拒绝H₀|H₀为真）=α（α是显著性水平）(www.xing528.com)

P（犯第Ⅱ类错误）=P（接受H₀|H₀不真）.

【典型例题】

例8.6.1 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分.问在显著性水平α=0.05下，是否可认为这次考试的考生平均成绩为70分.

精解 记考生成绩为X，则X～N（μ，σ²）.

现在的问题是在σ²未知时检验_μ=70.具体如下：

H₀：μ=70，H₁：μ≠70，

检验统计量 （将样本观察值代入T后记为t）

拒绝域|t|≥t_α/2（n-1）=t_0.025（35）=2.0301.

将μ=70，x=66.5，s=15，n=35代入得|t|≈1.4，显然它不在拒绝域内，所以接受H₀，可认为这次考试的考生平均成绩为70分.

例8.6.2 设总体X～N（μ₁，σ₁²），Y～N（μ₂，σ₂²），μ₁，μ₂未知，X₁，X₂，…，X_n与Y₁，Y₂，…，Y_n是分别来自X与Y的简单随机样本，且相互独立，记它们的方差分别为S₁²与S₂²，试写出检验假设

的统计量及拒绝域（已知显著性水平为α）.

精解 由于是在μ₁，μ₂未知的情形下，检验假设

H₀：σ₁²=σ2²，H₁：σ₁²≠σ₂²，

所以使用统计量为

拒绝域为 F≤F_1-α/2（n-1，n-1）或F≥F_α/2（n-1，n-1）.

例8.6.3 某工厂生产一种螺钉，标准要求长度为68（mm），实际生产的产品的长度服从正态分布N（μ，3.6²）.考虑假设检验：

H₀：μ=68，H₁：μ≠68.记X是样本均值.按以下方式进行假设检验：

当|X-68|≤1时，接受H₀；当时，拒绝H0.

（1）当样本容量n=36时，求犯第Ⅰ类错误的概率α；

（2）在μ=70，n=64时，求犯第Ⅱ类错误的概率β.

（2）现在的统计量为

所以，