估计量的无偏性、有效性和一致性-重要考点总结

【主要内容】

设θ是总体X的未知参数，X₁，X₂，…，X_n是来自X的一个简单随机样本.

1.设（X₁，X₂，…，X_n）是θ的估计量，如果，则称是θ的无偏估计量.

2.设（X₁，X₂，…，X_n）和（X₁，X₂，…，X_n）都是θ的无偏估计量，如果，则称是较有效估计量.

3.设（X₁，X₂，…，X_n）是θ的估计量，如果当n→∞时，θ，即对任意ε>0都有，则称是θ的一致估计量.

【典型例题】

例8.4.1 设总体X的分布律为

其中，θ∈（0，1）是X的未知参数，以N_i表示来自总体X的简单随机样本（样本容量为n）中等于i的个数（i=1，2，3），求常数a₁，a₂，a₃，使得为θ的无偏估计量，并求DT.

精解 易知N₁～B（n，1-θ），N₂～B（n，θ-θ²），所以

欲使ET是θ的无偏估计量，即ET=θ得

a₁n+（a₂-a₁）nθ+（a₃-a₂）θ²=θ.

比较上式两边关于θ的同次幂系数得

于是

由此可得，

例8.4.2 设总体X的概率密度为

其中，θ（0<θ<1）是X的未知参数.又设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本，X是它的均值.判断是否为θ²的无偏估计量.

精解 只要确定是否成立即可.

由于

其中

将式（2）、式（3）代入式（1）得

显然，E（4X²）≠θ²，所以不是θ²的无偏估计量.(https://www.xing528.com)

例8.4.d 设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X～N（μ，σ²）的简单随机样本，记

（1）证明T为μ²的无偏估计量；

（2）当μ=0，σ=1时，求DT.

精解 （1）只要证明ET=μ²即可.

由于

所以，T是μ²的无偏估计量.

（2）当μ=0，σ=1时，

由于，所以，从而

此外，由于（n-1）S²～χ²（n-1），所以

将式（2）、式（3）代入式（1）得

例8.4.4 设总体X～N（μ，σ²），X₁，X₂，…，X_n（n≥3）是来自X的一个简单随机样本.

（1）检验，及都是未知参数μ的无偏估计量，其中；

（2）判定上述三个估计量哪一个最有效.

精解 （1）由于

所以，，都是μ的无偏估计量.

（2）由于D，

，

，

所以，当n≥3时，上述三个方差中以DX为最小，所以，DX最有效.