正项级数比较判别法-2016考研数学（一）典型题660

【主要内容】

1.比较判别法

设是正项级数，并可以找到正项级数

如果u_n≤v_n（n=1，2，…），且收敛，则收敛.

如果u_n≥v_n（n=1，2，…），且发散，则发散.

2.比较判别法的极限形式

设是正项级数，并可以找到正项级数，且；

如果0<l<+∞，则与有相同的收敛性；

如果l=0，则由收敛可得收敛；

如果l=+∞，则由发散可得发散.

【典型例题】

例4.11.1 （单项选择题）设是正项级数，则下列结论正确的是（ ）.

A.若，则收敛

B.若存在非零常数λ，使得，则发散

C.若收敛，则

D.若发散，则存在非零常数λ，使得

精解 顺序考虑各个选项，直到得到正确选项为止.

先考虑选项A.对正项级数，虽然，但发散(https://www.xing528.com)

（详见本节例4.11.4），所以选项A不能选.

再考虑选项B.由于

而发散，所以由比较判别法的极限形式知发散，即选项B正确.

因此本题选B.

例4.11.2 讨论正项级数的收敛性.

精解 用比较判别法讨论所给级数的收敛性.

记，则

因此，当α>0时，由正项级数收敛知所给级数收敛；当-1<α≤0时，由正项级数发散知所给级数发散.

例4.11.3 判别级数的收敛性.

精解 由ln（1+x）<x（x>0）知所给级数是正项级数.下面用比较判别法的极限形式考虑它的收敛性.为此计算极限

将上式中的看做x，则由

得，而收敛，所以也收敛.

例4.11.4 证明正项级数发散.

精解 记，将它适当缩小，寻找一个发散的正项级数对lnlnx在[n，n+1]（n=2，3，…）上应用拉格朗日中值定理得

，

即有，并且

即发散，所以由比较判别法知发散.