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考研数学一典660:正项级数比值与根值判别法

时间:2023-11-18 理论教育 版权反馈
【摘要】:),则称为正项级数.正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列{sn}有上界.2.比值判别法设是正项级数.如果,则当ρ<1时,收敛;当ρ>1时,发散;当ρ=1时,的收敛性要用其他方法判别.注 当un包含有n!

考研数学一典660:正项级数比值与根值判别法

【主要内容】

1.正项级数收敛的充分必要条件

如果un≥0(n=1,2,…),则称978-7-111-49809-4-Part01-3196.jpg为正项级数.

正项级数978-7-111-49809-4-Part01-3197.jpg收敛的充分必要条件是它的部分和数列{sn}有上界.

2.比值判别法

978-7-111-49809-4-Part01-3198.jpg是正项级数.如果978-7-111-49809-4-Part01-3199.jpg,则

ρ<1时,978-7-111-49809-4-Part01-3200.jpg收敛;

ρ>1时,978-7-111-49809-4-Part01-3201.jpg发散;

ρ=1时,978-7-111-49809-4-Part01-3202.jpg的收敛性要用其他方法判别.

注 当un包含有n!之类的因子,或关于n的若干个因子连乘形式时,往往用比值判别法判别正项级数978-7-111-49809-4-Part01-3203.jpg的收敛性.

3.根值判别法

978-7-111-49809-4-Part01-3204.jpg是正项级数,如果978-7-111-49809-4-Part01-3205.jpg,则

ρ<1时,978-7-111-49809-4-Part01-3206.jpg收敛;

ρ>1时,978-7-111-49809-4-Part01-3207.jpg发散;

ρ=1时,978-7-111-49809-4-Part01-3208.jpg的收敛性要用其他方法判别.

注 当un包含有n或关于n的函数为指数的因子时,往往用根值判别法判别正项级数978-7-111-49809-4-Part01-3209.jpg的收敛性.

【典型例题】

例4.10.1 判别正项级数978-7-111-49809-4-Part01-3210.jpg的收敛性.

精解 用比值判别法判别.

978-7-111-49809-4-Part01-3211.jpg,则

所以,所给正项级数收敛.

例4.10.2 讨论正项级数978-7-111-49809-4-Part01-3214.jpg的收敛性与x取值的关系.(www.xing528.com)

精解 用比值判别法进行讨论.

978-7-111-49809-4-Part01-3215.jpg,则

所以由比值判别法知,当0<x<e时,所给正项级数收敛;当x>e时,所给正项级数发散;

x=e时,由于978-7-111-49809-4-Part01-3217.jpg单调增加收敛于e,所以

即{un}单调增加,于是由un>u1=e (n=2,3,…)知978-7-111-49809-4-Part01-3219.jpg,由此推出x=e时所给正项级数发散.

例4.10.3 判别正项级数978-7-111-49809-4-Part01-3220.jpg的收敛性.

精解 用根值判别法判别收敛性.

978-7-111-49809-4-Part01-3221.jpg,则

由于 978-7-111-49809-4-Part01-3223.jpg,所以978-7-111-49809-4-Part01-3224.jpg.从而所给正项级数收敛.

例4.10.4 判别正项级数978-7-111-49809-4-Part01-3225.jpg的收敛性.

精解 用根值判别法判别收敛性.

978-7-111-49809-4-Part01-3226.jpg,则

考虑函数极限978-7-111-49809-4-Part01-3228.jpg978-7-111-49809-4-Part01-3229.jpg

其中,978-7-111-49809-4-Part01-3231.jpg

将它代入式(1)得

从而978-7-111-49809-4-Part01-3234.jpg,因此所给正项级数收敛.

例4.10.5 设正项数列{an}单调增加且有上界,证明:级数978-7-111-49809-4-Part01-3235.jpg收敛.

精解 由{an}单调增加知978-7-111-49809-4-Part01-3236.jpg,因此978-7-111-49809-4-Part01-3237.jpg是正项级数,于是只要证明数列978-7-111-49809-4-Part01-3238.jpg有上界即可.

记数列{an}的上界为M,则

因此,级数978-7-111-49809-4-Part01-3240.jpg收敛.

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