考研数学一典660：正项级数比值与根值判别法

【主要内容】

1.正项级数收敛的充分必要条件

如果u_n≥0（n=1，2，…），则称为正项级数.

正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列{s_n}有上界.

2.比值判别法

设是正项级数.如果，则

当ρ<1时，收敛；

当ρ>1时，发散；

当ρ=1时，的收敛性要用其他方法判别.

注 当u_n包含有n！之类的因子，或关于n的若干个因子连乘形式时，往往用比值判别法判别正项级数的收敛性.

3.根值判别法

设是正项级数，如果，则

当ρ<1时，收敛；

当ρ>1时，发散；

当ρ=1时，的收敛性要用其他方法判别.

注 当u_n包含有n或关于n的函数为指数的因子时，往往用根值判别法判别正项级数的收敛性.

【典型例题】

例4.10.1 判别正项级数的收敛性.

精解 用比值判别法判别.

记 ，则

所以，所给正项级数收敛.

例4.10.2 讨论正项级数的收敛性与x取值的关系.(https://www.xing528.com)

精解 用比值判别法进行讨论.

记，则

所以由比值判别法知，当0<x<e时，所给正项级数收敛；当x>e时，所给正项级数发散；

当x=e时，由于单调增加收敛于e，所以

即{u_n}单调增加，于是由u_n>u₁=e （n=2，3，…）知，由此推出x=e时所给正项级数发散.

例4.10.3 判别正项级数的收敛性.

精解 用根值判别法判别收敛性.

记 ，则

由于 ，所以.从而所给正项级数收敛.

例4.10.4 判别正项级数的收敛性.

精解 用根值判别法判别收敛性.

记，则

考虑函数极限：

其中，

将它代入式（1）得

从而，因此所给正项级数收敛.

例4.10.5 设正项数列{a_n}单调增加且有上界，证明：级数收敛.

精解 由{a_n}单调增加知，因此是正项级数，于是只要证明数列有上界即可.

记数列{a_n}的上界为M，则

因此，级数收敛.