【主要内容】
1.正项级数收敛的充分必要条件
如果un≥0(n=1,2,…),则称为正项级数.
正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列{sn}有上界.
2.比值判别法
设是正项级数.如果,则
当ρ<1时,收敛;
当ρ>1时,发散;
当ρ=1时,的收敛性要用其他方法判别.
注 当un包含有n!之类的因子,或关于n的若干个因子连乘形式时,往往用比值判别法判别正项级数的收敛性.
3.根值判别法
设是正项级数,如果,则
当ρ<1时,收敛;
当ρ>1时,发散;
当ρ=1时,的收敛性要用其他方法判别.
注 当un包含有n或关于n的函数为指数的因子时,往往用根值判别法判别正项级数的收敛性.
【典型例题】
例4.10.1 判别正项级数的收敛性.
精解 用比值判别法判别.
记 ,则
所以,所给正项级数收敛.
例4.10.2 讨论正项级数的收敛性与x取值的关系.(www.xing528.com)
精解 用比值判别法进行讨论.
记,则
所以由比值判别法知,当0<x<e时,所给正项级数收敛;当x>e时,所给正项级数发散;
当x=e时,由于单调增加收敛于e,所以
即{un}单调增加,于是由un>u1=e (n=2,3,…)知,由此推出x=e时所给正项级数发散.
例4.10.3 判别正项级数的收敛性.
精解 用根值判别法判别收敛性.
记 ,则
由于 ,所以.从而所给正项级数收敛.
例4.10.4 判别正项级数的收敛性.
精解 用根值判别法判别收敛性.
记,则
考虑函数极限:
其中,
将它代入式(1)得
从而,因此所给正项级数收敛.
例4.10.5 设正项数列{an}单调增加且有上界,证明:级数收敛.
精解 由{an}单调增加知,因此是正项级数,于是只要证明数列有上界即可.
记数列{an}的上界为M,则
因此,级数收敛.
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