连续函数的方程求解-2016考研数学（一）典型题660

【主要内容】

求满足方程（其中g（x，u）是已知的连续函数，h（x）是已知的可微函数）的连续函数y（t）的步骤如下：

（1）将g（x，y（t））中的x移走，例如移出到积分号外，或通过适当的变量代换移到积分上限.

（2）经过上述处理后的方程两边对x求导（一次或两次）转换成微分方程，求解此微分方程（此时的初始条件可从所给的方程中得到），即得未知函数y（x）的表达式.

【典型例题】

例4.8.1 求满足方程的连续函数y（x）（x≥1）.

精解 由y（x）连续知可导，从而由所给方程知y（x）（x≥1）可导.因此，所给方程两边对x求导得

y²（x）=2xy（x）+x²y′（x），

即 （一阶齐次微分方程）. （1）

令y=xu，代入式（1）得

， 即

上式两边分别积分得

， 即 由此得到

由所给的方程知y（1）=1.将它代入式（2）得，即C=-2.将它代入式（2）得

例4.8.2 设φ（x）是连续函数，且满足方程

求φ（x）.

精解 将所给方程改写成

（即将被积函数中的x移出积分号），并在上式两边对x求导（由于φ（x）连续，所以由上列表达式知φ（x）可导）得

即

式（1）两边对x求导得

φ″（x）=e^x-φ（x）， 即 φ″（x）+φ（x）=e^x. （2）

它有特解.此外它对应齐次线性微分方程φ″（x）+φ（x）=0的通解为Φ=C₁sinx+C₂cosx.因此式（2）的通解为

并且

由题设中所给的方程及式（1）知φ（0）=1，φ′（0）=1.将它们代入式（3）和式（4）得

即

将它们代入式（3）得

例4.8.3 设函数y（x）具有连续导数，且满足方程

及y（0）=1，求y（x）的表达式.

精解 首先应由变量代换中的x移到积分上限：

将它代入所给方程得

上式两边对x求导得(https://www.xing528.com)

y″+3y′+2y=e^-x （二阶常系数非齐次线性微分方程）， （1）

式（1）对应的齐次线性微分方程为

y″+3y′+2y=0， （2）

它的特征方程r²+3r+2=0有根r=-1，-2，所以式（2）的通解为

Y=C₁e^-x+C_2e^-2x.

此外，式（1）有特解y∗=Axe^-x.将它代入式（1）得

（Axe^-x）″+3（Axe^-x）′+2（Axe^-x）=e^-x，

即 A（x-2）e^-x+3A（1-x）e^-x+2Axe^-x=e^-x.

化简得A=1，所以式（1）有特解y∗=xe^-x.从而式（1）的通解为

y（x）=C₁e^-x+C₂e^-2x+xe^-x， （3）

且 y′（x）=-C₁e^-x-2C₂e^-2x+（1-x）e^-x. （4）

由题设知y（0）=1，此外由所给方程知y′（0）=-1，将它们代入式（3）、式（4）得

即 C₁=0， C₂=1.

将它们代入式（3）得所求的

y（x）=e^-2x+xe^-x.

例4.8.4 设连续函数y（x）满足方程

且存在，求y（x）的表达式.

精解 将前的x除去得

上式两边分别对x求导得

化简后得

（可降阶的二阶微分方程）. （1）

令p=y′，则式（1）成为

（一阶线性微分方程）.

它的通解为

于是式（1）的通解为

下面确定式（2）中的C₁与C2.

由存在知C₁=0，所以

将x=1代入所给的方程得y（1）=1+y′（1）.于是由式（3）得

， 即

将它代入式（3）得