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典型题660:可降阶的二阶微分方程

时间:2023-11-18 理论教育 版权反馈
【摘要】:【主要内容】二阶微分方程的一般形式是F(x,y,y′,y″)=0(其中y″必定出现),它的标准形是y″=f(x,y,y′).有三类二阶微分方程可降阶成一阶微分方程,然后求解,分别如下:1.微分方程y″=f(x)求这类微分方程通解的步骤如下:(1)降阶成一阶微分方程(2)于是二阶微分方程的通解为2.微分方程y″=f(x,y′)求这类微分方程通解的步骤如下:(1)令p=y′降阶为一阶微分方程p′=f(

典型题660:可降阶的二阶微分方程

【主要内容】

二阶微分方程的一般形式是Fxyy′y″=0(其中y″必定出现),它的标准形是y″=fxyy′).

有三类二阶微分方程可降阶成一阶微分方程,然后求解,分别如下:

1.微分方程y″=fx

求这类微分方程通解的步骤如下:

(1)降阶成一阶微分方程978-7-111-49809-4-Part01-3000.jpg

(2)于是二阶微分方程的通解为978-7-111-49809-4-Part01-3001.jpg978-7-111-49809-4-Part01-3002.jpg

2.微分方程y″=fxy′

求这类微分方程通解的步骤如下:

(1)令p=y′降阶为一阶微分方程p′=fxp),设它的通解为p=φxC1),即978-7-111-49809-4-Part01-3003.jpg

(2)求解式(∗)得二阶微分方程的通解为978-7-111-49809-4-Part01-3004.jpg

3.微分方程y″=fyy′

求这类微分方程通解的步骤如下:

(1)令p=y′降阶成一阶微分方程978-7-111-49809-4-Part01-3005.jpg.设它的通解为p=φyC1),即

(2)求解式(∗∗)得二阶微分方程的通解

【典型例题】

例4.4.1 求微分方程978-7-111-49809-4-Part01-3008.jpg的通解.

精解 所给微分方程是y″=fxy′)类型的二阶微分方程,所以令p=y′,则所给微分方程降阶为

式(1)的通解

由此得到

因此,原微分方程的通解为

例4.4.2 求微分方程xy″+xy′)2-y′=0满足y(2)=0,y978-7-111-49809-4-Part01-3013.jpg的特解.

精解 所给微分方程是y″=fxy′)类型的二阶微分方程,所以令p=y′,则所给微分方程降阶成

978-7-111-49809-4-Part01-3014.jpg, 即 978-7-111-49809-4-Part01-3015.jpg的伯努利方程). (1)

z=p1-2=p-1,则(1)成为

它的通解为

由初始条件978-7-111-49809-4-Part01-3018.jpg,将它代入式(2)得978-7-111-49809-4-Part01-3019.jpg,即C1=2.所以

978-7-111-49809-4-Part01-3020.jpg,即

978-7-111-49809-4-Part01-3021.jpg由此得到(www.xing528.com)

从而原微分方程的通解为

将初始条件y(2)=0代入式(3)得0=ln8+C2,即C2=-3ln2.所以所求微分方程的特解为

y=ln(4+x2-3ln2.

例4.4.3 求微分方程978-7-111-49809-4-Part01-3024.jpg的通解.

精解 所给微分方程是y″=fyy′)类型的二阶微分方程,令p=y′,则978-7-111-49809-4-Part01-3025.jpg将它们代入所给的微分方程得

978-7-111-49809-4-Part01-3027.jpg

上式两边分别积分得

lnp=2ln(y-1)+lnC1, 即 p=C1y-1)2.

由此得到

978-7-111-49809-4-Part01-3028.jpg, 即 978-7-111-49809-4-Part01-3029.jpg

上式两边分别积分得原微分方程的通解为

978-7-111-49809-4-Part01-3030.jpg, 即 978-7-111-49809-4-Part01-3031.jpg

例4.4.4 求微分方程y″+y′2=1满足y(0)=y′(0)=0的特解.

精解 所给的微分方程是y″=fyy′)类型的二阶微分方程,令p=y′978-7-111-49809-4-Part01-3032.jpg将它们代入所给的微分方程得

978-7-111-49809-4-Part01-3033.jpg, 即 978-7-111-49809-4-Part01-3034.jpg

上式两边分别积分得

978-7-111-49809-4-Part01-3035.jpg, 即 p2=C1e2y+1. (1)

y(0)=0,p(0)=y′(0)=0代入式(1)得C1=-1.于是式(1)成为

p2=1-e-2y, 即 978-7-111-49809-4-Part01-3036.jpg

由此得到 978-7-111-49809-4-Part01-3037.jpg, 即 978-7-111-49809-4-Part01-3038.jpg

上式两边分别积分得

978-7-111-49809-4-Part01-3039.jpg, 即 978-7-111-49809-4-Part01-3040.jpg

所以978-7-111-49809-4-Part01-3041.jpg

y(0)=0代入式(2)得C2=0.所以

978-7-111-49809-4-Part01-3043.jpg

上式两边平方得e2y-1=e±2x-2e±xey+e2y, 即 978-7-111-49809-4-Part01-3044.jpg

因此所求的特解为 978-7-111-49809-4-Part01-3045.jpg

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