斯托克斯公式与旋度-2016考研数学(一)典型题660

【主要内容】

1.斯托克斯公式与旋度的概念

设三元函数P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）都具有连续偏导数，Γ是光滑或分段光滑空间有向闭曲线；Σ是以Γ为边界的任意光滑或分块光滑的曲面，其上任一点的法向量与Γ的方向符合右手法则，则有以下的斯托克斯公式：

其中（cosα，cosβ，cosγ）是有向曲面Σ上任一点的单位法向量n⁰（n⁰dS=（cosαdS，cosβdS，cosγdS）=（dydz，dzdx，dxdy））

记向量场A（x，y，z）=P（x，y，z）i+Q（x，y，z）j+R（x，y，z）k，则称

为A的旋度，于是斯托克斯公式也可以表示为

其中τ⁰是有向曲线Γ上任一点的单位切向量（τ⁰ds=（dx，dy，dz））.

2.斯托克斯公式应用的推广

应用斯托克斯公式计算曲线积分时，要求Γ是正向闭曲线.但当Γ不是闭曲线时，可以适当添加一段曲线（记为Γ₁），使得Γ+Γ₁为闭曲线，并且使比容易计算，于是对

的右边第一项应用斯托克斯公式可较快地算出

【典型例题】

例3.20.1 计算关于坐标的曲线积分

其中Γ是曲线从z轴正向往z轴负向看过去，Γ是顺时针的.

精解 由于Γ是闭曲线，所以可应用斯托克斯公式计算I.

（其中Σ是平面x-y+z=2上由Γ围成的那一部分的下侧，Σ在xOy平面上的投影为D_xy={（x，y）|x²+y²≤1}）

例3.20.2 计算关于坐标的曲线积分

其中，L是圆柱面x²+y²=R²上的螺线（其中R>0，h>0）从点A（R，0，0）到点B（R，0，h）的弧段.

精解 虽然L不是闭曲线，但添加线段B，构成闭曲线，可间接应用斯托克斯公式计算I.

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其中，

（其中Σ是柱面x²+y²=R²上的由L+BA围成的曲面的外侧）

由于BA的参数方程为，其中B，A分别对应参数τ=h，τ=0，所以，

将式（2）、式（3）代入式（1）得

例3.20.3 计算关于坐标的曲线积分

其中，L是球面x²+y²+z²=a²（a>0）在第一卦限中的有向边界曲线，如图3.20.3所示.

图 3.20.3

精解 L不是闭曲线，所以添上有向弧（即球面x²+y²+z²=a²在第一卦限中的另一有向边界），使得是闭曲线，然后考虑应用斯托克斯公式.

其中，

其中

同样可以算出

将它们代入式（2）得

此外，由于，点A，B的参数分别对应，所以，

将式（3）、式（4）代入式（1）得