面积曲面积分计算详解

【主要内容】

1.关于面积曲面积分的概念

设f（x，y，z）是有界函数，Σ：z=z（x，y）是光滑或分块光滑曲面，把Σ任意划分成n个小块：

ΔS₁，ΔS₂，…，ΔS_n

其中ΔS_i表示第i个小块，也表示该小块的面积（i=1，2，…，n）.在每个小块ΔS_i上任取一点（_i，η_i，ζi）（i=1，2，…，n）.如果不管Σ如何划分成n个小块，也不管在每个小块上如何取点，极限

（其中λ是各小块中直径最大者）

总是存在且相等，则称这个极限值为f（x，y，z）在Σ上的关于面积的曲面积分，记为，即

当f（x，y，z）是连续函数时，关于面积的曲面积分存在.

当f（x，y，z）=1时，f（x，y，z）在Σ上的关于面积的曲面积分即为S的面积.

2.关于面积曲面积分的计算方法

关于面积曲面积分可按以下步骤计算：

（1）按关于面积曲面积分的性质，尤其是关于积分曲面的对称性，化简所给的曲面积分，使它化为易于转化成二重积分的形式.

关于面积曲面积分主要有以下性质：

设f（x，y，z），g（x，y，z）都是连续函数，Σ是光滑或分块光滑曲面，则

（ⅳ）设S关于平面z=0（或x=0，或y=0）对称.如果在对称点处f（x，y，z）的值互为相反数，则；如果在对称点处f（x，y，z）的值彼此相等，则（其中Σ₁是Σ按上述的对称性划分成的两部分之一）.

设S关于平面y=x对称（此时对称点为（x，y，z）与（y，x，z））.如果在对称点处f（x，y，z）的值互为相反数，则；如果在对称点处f（x，y，z）的值彼此相等，则（其中Σ₂是Σ按对称性划分成的两部分之一）.

（2）将化简后的关于面积曲面积分（记为化为二重积分，然后计算这个二重积分，即可得到所求的关于面积曲面积分.

设f₀（x，y，z）是连续函数，Σ₀是光滑或分块光滑曲面.如果Σ₀：z=z（x，y），则

其中，D_xy是Σ₀在xOy平面上的投影；如果Σ₀：x=x（y，z），则

其中，D_yz是Σ₀在yOz平面上的投影；如果Σ₀：y=y（x，z），则

其中，D_xz是Σ₀在xOz平面上的投影.

如果Σ₀的方程不能如以上那样用显函数表示，则需用一些与平面x=0（或y=0，或z=0）平行的平面，将Σ分成若干块，使每一块的方程都可用显函数表示，然后对每一块对应地使用以上所列公式，并将算出的曲面积分值逐一相加.

【典型例题】

例3.17.1 计算下列关于面积的曲面积分，其中Σ：x²+y²+z²=R²（R>0）：(www.xing528.com)

精解 利用Σ的对称性计算本题.

（1）Σ关于平面x=0对称，在对称点处x的值互为相反数，所以

（2）由于Σ关于平面y=x对称，且在对称点（即（x，y，z）与（y，x，z））处y²-x²的值互为相反数，所以

同样有因此

例3.17.2 求关于面积的曲面积分，其中Σ是上半球面x²+y²+z²=R²（z≥0，常数R>0）.

精解 为了利用Σ的方程和Σ的对称性，需要改写曲面积分：

其中

由于Σ关于平面x=0对称，在对称点处x（y+z+1）的值互为相反数，所以

由于Σ关于平面y=0对称，在对称点处y（z+1）的值互为相反数，所以

此外，

将式（2）～式（5）代入式（1）得

例3.17.3 计算关于面积的曲面积分，其中Σ是由曲面S₁：z=x²+y²与曲面S₂：z=1-x²-y²围成的立体表面.

精解 先利用Σ的对称性化简所给的曲面积分.

由于Σ既关于平面x=0对称，又关于平面y=0对称，且|xyz|在对称点处的值彼此相等，所以

其中Σ′是Σ位于第一卦限的部分，而S₁′，S₂′分别是Σ′的位于S₁，S₂上的部分，S₁′与S₂′的交线为，即，所以S₁′，S₂′在xOy平面上的投影同为.于是

例3.17.4 设平面Π_t：z=t（t≥0），求函数的表达式，其中

精解 根据平面Π_t与球面Σ：x²+y²+z²=1的相对位置，即相交与不相交（包括相切）确定F（t）的表达式，而相交与不相交又由原点到平面Π_t的距离t决定.

因此讨论0≤t<1与t≥1来计算F（t）的表达式.

当0≤t<1时，Π_t与Σ相交，记Π_t在Σ里的部分为Σ_t，它在xOy平面上的投影D_xy为由曲线，在xOy平面的投影x²+y²=1-t²围成的区域，即D_xy={（x，y）|x²+y²≤1-t²}，所以，

（由于Σ_t：z=t，所以

当t≥1时，Π_t与Σ不相交（包括相切），所以

综上所述，