格林公式与路径无关的条件

【主要内容】

1.格林公式

设D是以光滑或分段光滑的平面曲线C为边界的单连通或多连通闭区域.二元函数P（x，y），Q（x，y）都在D上有连续偏导数，则

（注意：上式的表示沿正向闭曲线C的积分）.

应用格林公式计算关于坐标曲线积分的基本条件是：C是闭曲线，且，在D（即由C围成的闭区域）上连续，但当基本条件不满足时，有时仍可间接使用格林公式，具体如下：

（1）当C不是闭曲线（但P，Q都有一阶连续偏导数）时，可以适当添上一条或几条曲线（记为C₁），使得C+C₁为闭曲线（不妨设为正向闭曲线，且记其围成的闭区域为D₁），并且使较容易计算.于是对

的右边第一项应用格林公式可较快地算出

（2）当，在D的内部某点处不连续时，可以作位于D内部的正向闭曲线（记为C₂）将该不连续点包围起来，则

于是对等式右边第一项可使用格林公式

中，C^-₂是C₂的反向闭曲线.对于第二项可以将C₂的参数方程代入然后转换成定积分来计算，由此算出

2.曲线积分与路径无关的条件

设G是单连通区域，P（x，y），Q（x，y）在G内具有连续偏导数，则关于坐标的曲线积分在G内与路径无关的充分必要条件是

在G内成立.

此时，，

其中，u（x，y）是全微分为P（x，y）dx+Q（x，y）dy的任一函数.

【典型例题】

例3.16.1 求关于坐标的曲线积分，其中C是正向椭圆4x²+y²=8x.

精解 由于C是正向闭曲线，所以用格林公式计算所给的曲线积分.

C的方程可以写成4（x-1）²+y²=4，即（，记由正向闭曲线C围成的闭区域为D，则由格林公式得

（由于D关于x轴对称，ye^y2在对称点处的值互为相反数，所以∬

例3.16.2 求关于坐标的曲线积分，其中是曲线y=sinx上从原点O（0，0）到点A（π，0）的弧段.

精解 为了应用格林公式计算所给的曲线积分，应在上添上线段，构成正向闭曲线，记其围成的闭区域为D，则

其中

的参数方程及O，A的参数分别为t=0，t=π）

将式（2）、式（3）代入式（1）得

例3.16.3 求关于坐标的曲线积分，其中C是以（1，0）为中心，R（R>1）为半径的正向圆周.

精解 显然在以C为边界的闭区域D内，有不连续点（0，0），因此为了应用格林公式需作正向闭曲线C_ε：4x²+y²=ε²（其中ε是充分小的正数，使C_ε位于C之内），如图3.16.3所示.

则以C+C^-_ε(C^-_ε-是C_ε的反向曲线）为边界的闭区域D_ε内有

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图 3.16.3

即，所以，从而

（C_ε的参数方程为且起点、终点参数分别为

注 把C_ε的方程取为4x²+y²=ε²，是为了使化简成应注意类似的处理方法.

例3.16.4 设函数φ（y）连续可导，在围绕原点的任意分段光滑正向闭曲线L上，关于坐标的曲线积分

的值恒为同一常数.

（1）证明：对右半平面内的任意分段光滑正向闭曲线C有

（2）求函数φ（y）的表达式.

精解 （1）设C如图3.16.4所示，将它分成C₁与C₂两部分，分点为A，B，以A为起点B为终点作一光滑或分段光滑的曲线C₃，使得C₁+C₃，C₂+C^-₃（C₃-是C₃的反向曲线）都是围绕原点的闭曲线，如图3.16.4所示，则

图 3.16.4

于是

（2）由（1）知，在右半平面上有

所以由式（1）得

2y⁵-4x²y=φ′（y）（2x²+y⁴）-4y³φ（y），

即 2y⁵+4y³φ（y）-y⁴φ′（y）=2x²[φ′（y）+2y].

由于上式对任何x>0都成立，所以有

2y⁵+4y³φ（y）-y⁴φ′（y）=0， （2）

φ′（y）+2y=0. （3）

将式（3）代入式（2）得φ（y）=-y².

例3.16.5 设函数f（x）连续可导，L是上半平面y>0上分段光滑的有向曲线，其起点为（a，b），终点为（c，d），记

（1）证明I与积分路径L无关；

（2）当ab=cd时，求I的值.

精解 （1）由于在上半平面上有

即

所以I与上半平面上的路径L无关.

（2）由（1）知存在二元函数u（x，y），使得

所以，可取.于是