弧长曲线积分计算示例

【主要内容】

1.关于弧长曲线积分的概念

（1）平面曲线情形

设f（x，y）是有界函数，是光滑或分段光滑的平面曲线弧.在上任意插入n-1个不同的点M₁，M₂，…，M_n-1，把划分成n个小弧段：

记Δs_i为的长度，并在上任取点（_i，η_i）（i=1，2，…，n）.如果不管如何划分A（B，也不管如何在每个小弧段上选取点（_i，η_i），极限（其中λ是Δs₁，Δs₂，…，Δs_n中的最大者）总是存在且相等，则称这个极限值为f（x，y）在A上的关于弧长的曲线积分，记为，即

（2）空间曲线情形

设f（x，y，z）是有界函数，AB

（是光滑或分段光滑的空间曲线弧.在AB上任意插入n-1个不同的点M₁，M₂，…，M_n-1，把A划分成n个小弧段：

记Δs_i为的长度，并在上任取点（_i，η_i，ζ_i）（i=1，2，…，n）.如果不管如何划分，也不管如何在每个小弧段上选取点（_i，η_i，ζ_i），极限（其中λ是Δs₁，

（Δs₂，…，Δs_n中的最大者）总是存在且相等，则称这个极限值为f（x，y，z）在AB上的关于弧长的曲线积分，记为，即

当f（x，y）（或f（x，y，z））是连续函数时，存在.

当f（x，y）=1（或f（x，y，z）=1）时，f（x，y）（或f（x，y，z））在上的关于弧长的曲线积分即为的长.

2.关于弧长曲线积分的计算方法

下面以平面曲线情形为例，给出连续函数的关于弧长曲线积分的计算步骤：

（1）按关于弧长曲线积分的性质，特别利用积分曲线的对称性化简所给的曲线积分，使它化为易于转化成定积分的形式.

关于弧长曲线积分主要有以下性质.

设f（x，y），g（x，y）都是连续函数，是光滑或分段光滑的平面曲线弧，则

（ⅳ）设关于x轴（或y轴）对称.如果f（x，y）在对称点处的值互为相反数，则；如果f（x，y）在对称点处的值彼此相等，则（其中C是按对称性划分成的两部分之一）；

设关于直线y=x对称.如果f（x，y）在对称点（点（x，y）的对称点为（y，x））处的值互为相反数，则；如果f（x，y）在对称点处的值相等，则ds（其中C是AB按对称性划分成的两部分之一）.

（2）将化简后的关于弧长的曲线积分（记为化为定积分，然后计算这个定积分，即可得到所求的关于弧长曲线积分的值.化定积分方法如下：

设h（x，y）是连续函数，L的参数方程为它的起点与终点参数分别为t₀，t₁，则

【典型例题】

例3.14.1 求关于弧长的曲线积分，其中是沿抛物线x=y²上从点A（1，-1）到点的弧段.

精解 如图3.14.1所示，由图可知，，所以

其中，由于关于x轴对称，xy在对称点处的值互为相反数，所以

此外，由于的参数方程为，所以

图 3.14.1

将式（2）、式（3）代入式（1）得(www.xing528.com)

例3.14.2 设二元函数求关于弧长的曲线积分，其中，C是正方形|x|+|y|=1.

图 3.14.2

精解 由于f（x，y）仅在如图3.14.2所示的阴影部分取非零值，所以由图可知

由于折线，其中

所以，

例3.14.3 计算关于弧长的曲线积分，其中闭曲线C：（x²+y²）2=a²（x²-y²）（x≥0，常数a>0）.

精解 由C的方程知，C关于x轴对称，函数y在对称点处的值彼此相等，所以

由于C₁的方程在极坐标下为

r²=a²cos2θ，即，于是C₁的参数方程为

将式（2）代入式（1）得

例3.14.4 计算关于弧长的曲线积分，其中闭曲线C：

精解 先利用C的对称性化简所给的曲线积分

由于x与y互换，C的方程不变，所以C关于平面x=y对称，而函数z=y²-x²在对称点（x，y，z）与（y，x，z）处的值互为相反数，所以

同样有，从而

与上面同样可得

从而

由此得到

例3.14.5 求关于弧长的曲线积分，其中闭曲线C：

精解

其中，

为了计算，将C写成参数方程.从方程组中消去x得C在yOz平面上的投影曲线方程2y²+z²=R²，即，它的参数方程为2π），所以C的参数方程为

从而将式（2）、式（3）代入式（1）得