典型题660：三重积分计算结果

【主要内容】

1.三重积分的定义

设三元函数f（x，y，z）在空间有界闭区域Ω上有界，将Ω任意划分成n个小闭区域Δv₁，Δv₂，…，Δv_n，其中Δv_i表示第i个小闭区域，也表示它的体积，在每个小闭区域Δv_i上任取一点（_i，η_i，ζ_i）（i=1，2，…，n）.如果不管如何划分Δv₁，Δv₂，…，Δv_n，也不管在每个Δv_i上如何取点（_i，η_i，ζ_i），极限（其中λ表示各个小闭区域Δv_i的直径最大者）总存在且相等，则称此极限值为f（x，y，z）在Ω上的三重积分，记为，即

当f（x，y，z）是有界闭区域Ω上的三元连续函数时，三重积分存在.

2.三重积分的计算方法

有界闭区域上三元连续函数的三重积分按以下步骤计算：

（1）按三重积分性质，特别利用Ω的对称性，化简三重积分，使它易于转化成一个定积分与一个二重积分的形式.

三重积分主要有以下性质：

设f（x，y，z）和g（x，y，z）都是有界闭区域Ω上的连续函数，k是常数，则

（ⅳ）对于三重积分，当Ω关于平面z=0（或x=0，或y=0）对称时，如果在对称点处f（x，y，z）的值互为相反数，则；如果在对称点处f（x，y，z）的值彼此相等，则（Ω₁是Ω按对称性划分而成的两部分之一）.当Ω既关于平面z=0对称，又关于平面x=0和y=0对称，且在对称点处f（x，y，z）的值彼此相等，则（其中Ω₀是Ω在第一卦限的部分）.

（2）将化简后的三重积分（记为化为一个定积分与一个二重积分，然后逐次计算它们，即可得所求的三重积分的值.

将三重积分化为一个定积分和一个二重积分的方法具体如下：

（ⅰ）设Ω′={（x，y，z）|（x，y）∈D_xy，z₁（x，y）≤z≤z₂（x，y）}（其中D_xy是Ω′在xOy平面上的投影），则

当Ω′={（x，y，z）|（y，z）∈D_yz，x₁（y，z）≤x≤x₂（y，z）}（其中D_yz是Ω′在yOz平面上的投影），或Ω′={（x，y，z）|（x，z）∈D_xz，y₁（x，z）≤y≤y₂（x，z）}（其中D_xz是Ω′在xOz平面上的投影）时，也有类似的“先一后二”的表达式.

（ⅱ）设Ω′={（x，y，z）|z₁≤z≤z₂，（x，y）∈D_z}（其中D_z是Ω′的竖坐标为z的截面在xOy平面上的投影），则

当Ω′={（x，y，z）|x₁≤x≤x₂，（y，z）∈D_x}（其中D_x是Ω′的横坐标为x的截面在yOz平面上的投影），或Ω′={（x，y，z）|y₁≤y≤y₂，（x，z）∈D_y}（其中D_y是Ω′的纵坐标为y的截面在xOz平面上的投影）时，也有类似的“先二后一”的表达式.

当Ω′是旋转体时，往往使用“先二后一”方法计算三重积分.

（ⅲ）当Ω′是球心在原点的球体或其中一部分，例如Ω′={（r，θ，φ）|0≤θ₁≤θ≤θ₂≤2π，φ₁（θ）≤φ≤φ₂（θ），r₁（θ，φ）≤r≤r₂（θ，φ）}时，可用球面坐标计算三重积分，即

当Ω′是球心在点（a，b，c）的球体或其一部分时，则先作坐标平移然后再应用球面坐标计算坐标平移后的三重积分.

【典型例题】

例3.13.1 计算三重积分，其中Ω是由曲面z=xy，平面y=x，x=1，z=0围成的闭区域.

精解 Ω是曲顶柱体，它的底面位于平面z=0上，曲顶方程为z=xy，所以

Ω={（x，y，z）|0≤z≤xy，（x，y）∈D_xy}.

其中D_xy是Ω在平面z=0上的投影，如图3.13.1阴影部分所示.所以用“先一后二”方法计算所给的三重积分.

图 3.13.1

例3.13.2 计算三重积分，其中Ω是由曲线绕z轴旋转一周而成的旋转曲面与平面z=4围成的闭区域.

精解 先写出旋转曲面方程，然后用“先二后一”（即“先x，y后z”）方法计算所给的三重积分.

旋转曲面方程为

， 即 2z=x²+y²，

所以

Ω={（x，y，z）|0≤z≤4，（x，y）∈D_z}，其中D_z={（x，y）|x²+y²≤2z}.(https://www.xing528.com)

因此，

其中，

，

将它们代入式（1）得

注 本题用“先一后二”（即“先z后x，y”）方法也可计算.由于，其中D_xy={（x，y）|x²+y² ≤8}，所以

例3.13.3 计算三重积分，其中Ω是由曲面x²+y²+z²=1和z=围成的闭区域.

精解 Ω是由球面x²+y²+z²=1和圆锥面围成的，它在yOz平面的投影如图3.13.3阴影部分所示.

图 3.13.3

Ω的球面坐标表达式为

所以，所给的三重积分

例3.13.4 计算三重积分，其中Ω：x²+y²+z²≤1，

精解 由f（x，y，z）的表达式知，Ω应分成三部分：Ω₁，Ω₂和Ω₃，其中，Ω₂是Ω的位于锥面之内部分；Ω₃是Ω的位于平面z=0下方部分；Ω₁是Ω除去Ω₂与Ω3后的剩余部分.所以，在Ω上的被积函数表达式也可写成

于是

由于在球面坐标系下，

所以，

将式（2）、式（3）代入式（1）得

例3.13.5 计算三重积分，其中Ω是由球面x²+y²+z²=a²，x²+y²+z²=4a²及锥面z²=x²+y²围成的位于锥面之内的闭区域.

精解 其中，由于Ω关于平面y=0对称，且在对称点处2siny的值互为相反数，所以有

此外，Ω的球面坐标表达式为

所以，

将式（2）、式（3）代入式（1）得