【主要内容】
1.二重积分的概念
设二元函数f(x,y)在xOy平面有界闭区域D上有界,将D任意划分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn,其中Δσi表示第i个小闭区域,也表示它的面积,在每个小闭区域Δσi上任取一点(i,ηi)(i=1,2,…,n),如果不管如何划分Δσ1,Δσ2,…,Δσn,也不管在每个Δσi上如何取点(i,ηi),极限(其中,λ表示各个小区域Δσi的直径的最大者)总是存在且相等,则称此极限值为f(x,y)在D上的二重积分,记为,即
当f(x,y)是有界闭区域D上的二元连续函数时,二重积分存在,并且当f(x,y)≥0时,表示以D为底,曲面z=f(x,y)为顶,侧面是以D的边界为准线、母线平行于z轴的柱面所围成的曲顶柱体的体积.
2.二重积分的计算方法
有界闭区域上二元连续函数的二重积分计算步骤如下:
(1)按二重积分的性质,尤其是利用积分区域的对称性,化简二重积分,使它转化成易于化为二次积分的形式.
二重积分主要有以下性质:
设f(x,y),g(x,y)都是有界闭区域D上的连续函数,k是常数,则
(ⅳ)对于二重积分,当D关于x轴(或y轴)对称时,如果在对称点处f(x,y)的值互为相反数,则;如果f(x,y)的值彼此相等,则,其中D1是D按对称性划分而成的两部分之一.
当D既关于x轴对称,又关于y轴对称时,如果在对称点处f(x,y)的值彼此相等,则 (D0是D按对称性划分成的四部分之一).
(2)将化简后的二重积分记为,然后进行两次定积分计算,即算得所求的二重积分值.将二重积分化为二次积分的方法具体如下:
(ⅰ)设D′={(x,y)|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}(称为X型),则
(ⅲ)设D′={(r,θ)|0≤α≤θ≤β≤2π,r1(θ)≤r≤r2(θ)}(角域型),则
(ⅳ)当D′既不是X型,也不是Y型和角域型时,需用与y轴平行的直线,或与x轴平行的直线,或从原点发出的射线将D′分成若干小块X型,或Y型,或角域型,然后对各小块应用(ⅰ),或(ⅱ),或(ⅲ).
【典型例题】
例3.10.1 设f(x,y)是二元连续函数,且满足
其中,D是由直线y=0,x=1和曲线y=x2围成的闭区域.求f(x,y)的表达式.
精解 由于是常数,记为A,则所给等式成为
f(x,y)=xy+2A. (1)
式(1)两边在D(如图3.10.1阴影部分所示)积分得
即
由于D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x2}是X型,所以
将它们代入式(2)得
, 即
将它代入式(1)得
图 3.10.1
例3.10.2 求二重积分
精解 D如图3.10.2阴影部分所示,它可表示为
,显然是Y型,所以
图 3.10.2(www.xing528.com)
例3.10.3 计算二重积分,其中D:x2+y2≤4和(x+1)2+y2≥1.
精解 D如图3.10.3阴影部分所示,所以
图 3.10.3
(由于D的图形比较复杂,不易计算二重积分,但它是D1与D2之差,而D1与D2都是圆,它们的二重积分比较容易计算,因此将表示成这种方法在二重积分中是有用的,应予以注意)
例3.10.4 设二元函数求二重积分,其中D={(x,y)|x|+|y|≤2}.
精解 D关于x轴对称,也关于y轴对称,f(x,y)在对称点处的函数值彼此相等,所以,
其中D1是D在第一象限的部分.
按f(x,y)的表达式,将D1划分成D11与D12两块,如图3.10.4所示.
图 3.10.4
D11={(x,y)|x+y≤1,x≥0,y≥0},
D12={(x,y)|1<x+y≤2,x≥0,y≥0}.
于是,(2)
其中,
将式(3)和式(4)代入式(2)得
从而由式(1)知
例3.10.5 求二重积分,其中D={(x,y)|0≤x≤π,0≤y≤π}.
精解 因为
所以用直线,将D划分成D1、D2、D3,即
D=D1+D2+D3,
如图3.10.5所示.于是
图 3.10.5
(这里,由于不易直接计算,故把它转换成
其中,
将式(2)、式(3)、式(4)代入式(1)得
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