2016数学一考研典型题660：二重积分计算

【主要内容】

1.二重积分的概念

设二元函数f（x，y）在xOy平面有界闭区域D上有界，将D任意划分成n个小闭区域Δσ₁，Δσ₂，…，Δσ_n，其中Δσ_i表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个小闭区域Δσ_i上任取一点（_i，η_i）（i=1，2，…，n），如果不管如何划分Δσ₁，Δσ₂，…，Δσ_n，也不管在每个Δσ_i上如何取点（_i，η_i），极限（其中，λ表示各个小区域Δσ_i的直径的最大者）总是存在且相等，则称此极限值为f（x，y）在D上的二重积分，记为，即

当f（x，y）是有界闭区域D上的二元连续函数时，二重积分存在，并且当f（x，y）≥0时，表示以D为底，曲面z=f（x，y）为顶，侧面是以D的边界为准线、母线平行于z轴的柱面所围成的曲顶柱体的体积.

2.二重积分的计算方法

有界闭区域上二元连续函数的二重积分计算步骤如下：

（1）按二重积分的性质，尤其是利用积分区域的对称性，化简二重积分，使它转化成易于化为二次积分的形式.

二重积分主要有以下性质：

设f（x，y），g（x，y）都是有界闭区域D上的连续函数，k是常数，则

（ⅳ）对于二重积分，当D关于x轴（或y轴）对称时，如果在对称点处f（x，y）的值互为相反数，则；如果f（x，y）的值彼此相等，则，其中D₁是D按对称性划分而成的两部分之一.

当D既关于x轴对称，又关于y轴对称时，如果在对称点处f（x，y）的值彼此相等，则 （D₀是D按对称性划分成的四部分之一）.

（2）将化简后的二重积分记为，然后进行两次定积分计算，即算得所求的二重积分值.将二重积分化为二次积分的方法具体如下：

（ⅰ）设D′={（x，y）|a≤x≤b，φ₁（x）≤y≤φ₂（x）}（称为X型），则

（ⅲ）设D′={（r，θ）|0≤α≤θ≤β≤2π，r₁（θ）≤r≤r₂（θ）}（角域型），则

（ⅳ）当D′既不是X型，也不是Y型和角域型时，需用与y轴平行的直线，或与x轴平行的直线，或从原点发出的射线将D′分成若干小块X型，或Y型，或角域型，然后对各小块应用（ⅰ），或（ⅱ），或（ⅲ）.

【典型例题】

例3.10.1 设f（x，y）是二元连续函数，且满足

其中，D是由直线y=0，x=1和曲线y=x²围成的闭区域.求f（x，y）的表达式.

精解 由于是常数，记为A，则所给等式成为

f（x，y）=xy+2A. （1）

式（1）两边在D（如图3.10.1阴影部分所示）积分得

即

由于D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤x²}是X型，所以

将它们代入式（2）得

， 即

将它代入式（1）得

图 3.10.1

例3.10.2 求二重积分

精解 D如图3.10.2阴影部分所示，它可表示为

，显然是Y型，所以

图 3.10.2(https://www.xing528.com)

例3.10.3 计算二重积分，其中D：x²+y²≤4和（x+1）2+y²≥1.

精解 D如图3.10.3阴影部分所示，所以

图 3.10.3

（由于D的图形比较复杂，不易计算二重积分，但它是D₁与D₂之差，而D₁与D₂都是圆，它们的二重积分比较容易计算，因此将表示成这种方法在二重积分中是有用的，应予以注意）

例3.10.4 设二元函数求二重积分，其中D={（x，y）|x|+|y|≤2}.

精解 D关于x轴对称，也关于y轴对称，f（x，y）在对称点处的函数值彼此相等，所以，

其中D₁是D在第一象限的部分.

按f（x，y）的表达式，将D₁划分成D₁₁与D₁₂两块，如图3.10.4所示.

图 3.10.4

D₁₁={（x，y）|x+y≤1，x≥0，y≥0}，

D₁₂={（x，y）|1<x+y≤2，x≥0，y≥0}.

于是，（2）

其中，

将式（3）和式（4）代入式（2）得

从而由式（1）知

例3.10.5 求二重积分，其中D={（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤π}.

精解 因为

所以用直线，将D划分成D₁、D₂、D₃，即

D=D₁+D₂+D₃，

如图3.10.5所示.于是

图 3.10.5

（这里，由于不易直接计算，故把它转换成

其中，

将式（2）、式（3）、式（4）代入式（1）得