常见连续型随机变量概率分布

1）均匀分布

定义19.10　若连续型随机变量X 的概率密度为

则称X 服从区间［a，b］上的均匀分布，记为X～U［a，b］.其分布函数为

f（x）与F（x）的图形分别如图19.2 和图19.3 所示.

图19.2

图19.3

2）指数分布

定义19.11　若连续型随机变量X 的概率密度为

则称X 服从参数为λ 的指数分布.其分布函数为

f（x）与F（x）的图形分别如图19.4 和图19.5 所示.

图19.4

图19.5

3）正态分布

定义19.12　若连续型随机变量X 的概率密度为

其中μ，σ 为常数且σ＞0，则称X 服从参数为μ，σ2 的正态分布，记为X～N（μ，σ2）.其分布函数为

正态密度函数f（x）的图像称为正态曲线.如图19.6 所示，图形呈钟形，关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ±σ 处有拐点.当x➝±∞时，曲线以y ＝0 为渐进线，参数σ 确定图形的形状，σ大时曲线平缓，σ 小时曲线陡峭，在x ＝μ 处达到最大值，如图19.7 所示.

图19.6

图19.7

4）标准正态分布

当μ＝0，σ2 ＝1 时，即X～N（0，1），称为标准正态分布，其密度函数为

其分布函数记为

而P（X≤x）＝Φ（x），Φ（x）为图中阴影部分的面积（图19.8）.

从图19.8 可见，在标准正态分布函数中有

图19.8

【例19.8】　设X～N（0，1），查表求：（1）P｛X＜2.34｝；（2）P｛X＞1.23｝；（3）P｛－1＜X＜1.5｝.

【解】　（1）P｛X＜2.34｝＝Φ（2.34）＝0.990 4；

（2）P｛X＞1.23｝＝1－Φ（1.23）＝1－0.890 7 ＝0.109 3；(www.xing528.com)

（3）P｛－1＜X＜1.5｝＝Φ（1.5）－Φ（－1）＝0.774 5.

正态分布与标准正态分布之间有如下定理：

【例19.10】　设X～N（μ，σ2），求X 落在区间［μ－kσ，μ＋kσ］的概率.

当k ＝1，2，3 时，有

从例19.10 中可以看出，服从标准正态分布的随机变量，分布在［μ－σ，μ＋σ］中的概率为0.682 7，分布在［μ－2σ，μ＋2σ］中的概率为0.954 4，分布在［μ－3σ，μ＋3σ］中的概率为0.997 3.随机变量的取值几乎全部集中在［μ－3σ，μ ＋3σ］，超出这个范围的可能性不到0.3%.这个特点称为正态分布的3σ 规则.