常见离散型随机变量概率分布

1）两点分布

定义19.5　若随机变量X 的取值只有两个，且

其中，0＜p＜1，p ＝1－q，则称X 服从两点分布.

其分布列为

2）0⁃1 分布

定义19.6　若随机变量X 的取值只有两个可能值：0，1，且

其中，0＜p＜1，p ＝1－q，则称X 服从0⁃1 分布.

其分布列为

在n 重伯努利试验中，每次试验只观察A 是否发生，定义随机变量X 如下：

因为P｛X ＝0｝＝p，P｛X ＝1｝＝q，而p＋q ＝1，所以X 服从0⁃1 分布.

3）二项分布

定义19.7　若随机变量X 的可能取值为0，1，…，n，而X 的分布律为

其中，0＜p＜1，p＋q ＝1，则称X 服从参数为n，p 的二项分布，简记为X～B（n，p）.

显然，当n ＝1 时，X 服从两点分布，即两点分布实际上是二项分布的特例.

【例19.4】　某特效药的临床有效率为0.95，今有10 人服用，问至少有8 人治愈的概率是多少？

【解】　设X 为10 人中被治愈的人数，则X～B（10，0.95），所求概率为

因此，8 人治愈的概率约为95.7%.

4）泊松分布

定义19.8　若随机变量X 的可能取值为0，1，…，而X 的分布律为

其中λ＞0，则称X 服从参数为λ 的泊松分布，记为X～P（λ）.

泊松分布在管理科学中有着很重要的地位，如某学校学生生日为元旦的人数、某地区年龄在百岁以上的人数、到某商店去购物的顾客人数、某本书中印刷错误的字数、数字通信中传输数字时发生误码的个数等，大都服从泊松分布.

【例19.5】　设随机变量X 服从参数为5 的泊松分布，求：

（1）P｛X ＝10｝；　（2）P｛X≤10｝.

【解】　（1）查附录表2 中λ ＝5 这一栏的数据，可得(www.xing528.com)

可以证明：泊松分布是二项分布的极限.

定理19.1（泊松定理）　设λ＞0 是常数，n 为任意正整数，p 较小且n·p ＝λ，则对任意取定的非负整数k，有

由泊松定理可知，二项分布的计算可用泊松分布作近似处理.一般地，在n≥100，p≤0.1 时，可用

其中，λ ＝np.

【例19.6】　设某同类型设备的工作是相互独立的，发生故障的概率都为0.01.现假设一台设备发生故障可由1 名工人处理，试求下列条件下设备发生故障需要等待维修的概率.

（1）由1 名工人维护20 台设备；

（2）由3 名工人共同维护90 台设备.

【解】　（1）用X 表示20 台设备同时发生故障的台数，则X ～B（20，0.01），其中λ ＝np ＝20×0.01 ＝0.2，所以事件｛设备发生故障需要等待维修｝的概率为

（2）用Y 表示90 台设备同时发生故障的台数，则Y～B（90，0.01），λ ＝90×0.01 ＝0.9，因此事件｛设备发生故障需要等待维修｝的概率为

由结果可见第二种方案更有效.