高等数学基础（下）-随机变量分布函数

定义19.4　设X 是一个随机变量，函数F（x）＝P（X≤x）（－∞＜x＜＋∞）称为随机变量X的分布函数.

如果将X 看成数轴上随机点的坐标，那么分布函数F（x）在x 处的函数值就表示点X落入区间（－∞，x）上的概率.对于任意的实数x1 ＜x2，随机点X 落入区间（x1，x2）的概率P（x1＜X≤x2）＝P（X≤x2）－P（X≤x1）＝F（x2）－F（x1），即X 落入任一区间（x1，x2）的概率都可以由分布函数求得.

值得注意的是，任意类型的随机变量（不仅仅局限于离散型）都有分布函数F（x），且F（x）是一个普通的函数，其定义域为（－∞，＋∞），值域为［0，1］.

【例19.2】　设袋中有2 个白球、3 个黑球，从中任取3 个，记取到的白球为X，求X 的分布函数F（x），并画出F（x）的图形.

【解】　用古典概型，不难求得X 的分布列为

（1）当x＜0 时，｛X≤x｝为不可能事件，故F（x）＝P（X≤x）＝0；

（2）当0≤x＜1 时，｛X≤x｝＝｛X ＝0｝，故F（x）＝P（X≤x）＝ 0.1；

（3）当1≤x＜2 时，｛X≤x｝＝｛X ＝0｝∪｛X ＝1｝，故F（x）＝P（X≤x）＝P（X ＝0）＋P（X ＝1）＝0.1＋0.6 ＝0.7；

（4）当x≥2 时，｛X≤x｝＝｛X ＝0｝∪｛X ＝1｝∪｛ X ＝2｝，故F（x）＝P（X≤x）＝P（X ＝0）＋P（X ＝1）＋P（X ＝2）＝1.

于是其分布函数为

其图像如图19.1 所示.从图19.1 可以看出，离散型随机变量的分布函数F（x）是左连续的.

实际上，任意离散型随机变量的分布函数都有这种形式.设离散型随机变量X 的分布列为

则X 的分布函数为

一般地，随机变量X 的分布函数具有下列性质：(www.xing528.com)

图19.1

【解】　（1）由分布函数的性质可知：

即A＝1.