高等数学基础（下）：贝叶斯公式

【例18.19】　在例18.17 中，如果抽取的量杯是优质品，那么它是甲厂生产的概率是多少？

【解】　仍采用例18.17 中各事件的表示方法，本题是求在事件B 发生的条件下事件A1发生的条件概率P（A1 ｜B），由条件概率公式及全概率公式得

一般地，有如下公式：

在某一试验中，如果A1，A2，…，An 是一组互不相容事件，且A1 ∪A2 ∪…∪An ＝Ω，P（Ai）＞0（i＝1，2，…，n），则对该试验下的任一事件B，其概率为P（B）＞0，有

贝叶斯公式在统计决策中有十分重要的作用.一般地，P（Ai）和P（B ｜Ai）（i ＝1，2，…，n）是试验前根据以往的资料确定的，通常称为验前概率.而P（Ai ｜B）是试验后B 发生了才确定的，故称为验后概率.若在试验中发现某种现象B 已经发生，要想寻找B 发生的主要原因.如果A1，A2，…，An 是B 发生的n 个互不相容的可能原因，那么就可以用贝叶斯公式计算验后概率P（Ai ｜B）的大小，从而确定出现象B 发生的主要原因.

【例18.20】　假设一种疾病仅感染了1%的人口，一个诊断实验总是可以检出该疾病，但同时一般会有5%误报为阳性.一个患者的测试结果为阳性，则她患有这种疾病的概率是多少？

本题要计算的是在阳性的检测条件下患病的概率，即P（A｜B）.(www.xing528.com)

由全概率公式，得

由贝叶斯公式可得

结果表明，检测结果为阳性的人仍有可能不患病。

正是由于这个原因，很多测试病症的筛查办法并不是测试全部人口，而是集中于容易感染疾病的群体.在一个易感染群体中，该测试可能更为有效.假设在某一群人中P（A）＝0.45，有

在这个易感人群中，测试为阳性的人几乎可以确定感染了疾病。