线性方程组解的结构-高等数学基础（下）

前面讨论了线性方程组解的问题.那么在方程组有解的情况下，特别是无穷多解的时候，如何求出这些解呢？ 这些无穷多个解之间又有什么关系呢？

1）齐次线性方程组的解的结构

定理17.5　若X1，X2，…，Xs 是齐次线性方程组AX ＝0 的解向量组，则X1，X2，…，Xs 的线性组合k1X1 ＋k2X2 ＋… ＋ksXs（k1，k2，…ks 为常数） 也是AX ＝0 的解向量.

定义17.9　若齐次线性方程组AX ＝0 的s 个解向量η1，η2，…，ηs 构成的集合S，满足：

（1）η1，η2，…，ηs 线性无关；

（2）AX ＝0 的任意一个解η 均可由η1，η2，…，ηs 线性表出，即

则称η1，η2，…，ηs 为AX＝0 的一个基础解系，η 为AX＝0 的通解.

由定义17.9 可知，齐次线性方程组的基础解系就是其解集的极大线性无关组.

求齐次线性方程组的通解，只需求出它的基础解系.

定理17.6　设m×n 矩阵A 的秩r（A）＝s，则n 元齐次线性方程组AX＝0 的解集S 的秩rs ＝n－r.

当r（A）＝n 时，AX ＝0 只有零解，没有基础解系（解集S 只有一个零向量）；当r（A）＝s＜n 时，由定理知AX＝0 的基础解系含有n－r 个向量，由极大线性无关组的性质可知，AX ＝0 的任何n－r 个线性无关的解都构成它的基础解系.这说明AX ＝0 的基础解系并不是唯一的，其通解的形式也是不唯一的.

【例17.11】　求齐次线性方程组

的基础解系与通解.

【解】　对系数矩阵A 作初等行变换，化为行简化阶梯形矩阵，有

求解可得

显然，在这一方程组中，只要x3与x4 每取定一个值，就可以对应得到x1与x2，进而就可以得到原方程组的一个解，称这个解为线性方程组的一个特解. x3与x4 取不同的值，就得到线性方程组不同的解，故称x3与x4 为方程组的自由未知量.

令x3 ＝1，x4 ＝0，可得方程组的一个特解为η1 ＝（－1.5，3.5，1，0）T；(www.xing528.com)

令x3 ＝0，x4 ＝1，可得方程组的另一个特解为η2 ＝（－1，－2，0，1）T.

显然η1，η2 线性无关，它们就是方程组的一个基础解系.利用方程组的基础解系，该方程组的通解η 可表示为

【例17.12】　当λ 为何值时，齐次线性方程组有非零解，并求出其解.

求解可得

令x3 ＝1，方程组的基础解系为

方程组的通解为

2）非齐次线性方程组的解的结构

定义17.10　设有非齐次线性方程组AX＝b，对应的AX＝0 称为AX＝b 的导出组.

定理17.7　若X1 是AX＝b 的一个特解，η 是AX＝b 的导出组AX＝0 的通解，则AX＝b的通解X 可表示为

【例17.13】　解线性方程组

中，可令x2 ＝1，得其基础解系为

于是方程组的通解为　

在熟练的情况下，求解方程组的过程可作适当的简化.

【例17.14】　解线性方程组

令x3 ＝C1，x4 ＝C2（C1，C2为任意常数），可得方程组的解为

写成向量形式（各列对齐，没有字母的地方添加0），则得方程组的通解为