线性方程组解的判定方法

对于一般的线性方程组，其解的情况是不是与二元一次方程组的解的情况一样呢？

m 个方程n 元未知数的线性方程组

的矩阵形式为

其中

若x1 ＝ξ11，x2 ＝ξ21，…，xn ＝ξn1为方程组（1）的解，则X ＝ξ1 ＝（ξ11 ξ21 … ξn1）T 称为方程组（1）的解向量，它也是矩阵方程（2）的解.

当b ＝0（零向量）时，齐次线性方程组的矩阵形式为

根据矩阵方程（2）和（3），讨论解向量的性质.

性质1　若向量X ＝ξ1，X ＝ξ2 为矩阵方程（3）的解，则X ＝ξ1 ＋ξ2 也是矩阵方程（3）的解.

性质2　若向量X＝ξ 为矩阵方程（3）的解，k 为实数，则X＝kξ 也是矩阵方程（3）的解.　

性质3　若向量X＝η1，X＝η2 都是矩阵方程（2）的解，则X ＝η1－η2 为对应的矩阵方程（3）的解.

性质4　若X＝η 是矩阵方程（2）的解，X＝ξ 是矩阵方程（3）的解，则X＝η＋ξ 是矩阵方程（2）的解.(www.xing528.com)

【证明】　性质1： A（ξ1＋ξ2）＝Aξ1＋Aξ2 ＝0＋0 ＝0，即x ＝ξ1＋ξ2 也是矩阵方程（3）的解.

性质2：A（kξ）＝k（Aξ）＝k0 ＝0，即x ＝kξ 也是矩阵方程（3）的解.

性质3：A（η1－η2）＝Aη1－Aη2 ＝b－b ＝0，即x ＝η1－η2 为对应的齐次线性方程组（3）的解.

性质4：A（ξ＋η）＝Aξ＋Aη＝0＋b ＝b，即X＝ξ＋η 是矩阵方程（2）的解.

线性方程组在什么情况下有解呢？ 观察系数矩阵与增广矩阵的秩，有如下结论：

定理17.4　含有m 个方程的n 元线性方程组AX＝b 中：

【解】　对线性方程组的增广矩阵施行初等行变换

【例17.10】　已知线性方程组

根据a 的取值，讨论方程组的解的情况.

【解】　对线性方程组的增广矩阵施行初等行变换