定义17.8 在向量组A 中，若有r 个向量α1，α2，…，αr 组成向量组A0 线性无关，而向量组A 中任意r＋1 个向量（如果有的话）都线性相关，则称向量组A0 为向量组A 的一个极大线性无关向量组，简称为极大无关组.极大无关组所含向量的个数r 称为向量组A 的秩，记为r（α1，α2，…，αm）［或R（α1，α2，…，αm）］，也可记为rA（或RA）.
只有零向量的向量组没有极大无关组，规定它的秩为0.
根据定义17.8，例17.4 中的向量组A 的秩RA ＝2，α1，α3 是一个极大无关组，α2，α3 是另一个极大无关组；例17.5 中，r（α1，α2，α3）＝3；例17.6 中，n 维基本向量组的秩为n.
若向量组A 线性无关，则A 自身就是它的极大无关组，故其秩就等于它所含向量的个数.
定理17.2 向量组α1，α2，…，αm 线性无关的充要条件是r（α1，α2，…，αm）＝m.
下面讨论矩阵与向量组的秩的关系.
由矩阵与向量的概念可以看出，一个m×n 矩阵的每一行都是一个n 维行向量，故矩阵A 有m 个行向量.
称为矩阵A 的行向量组.同样，A 的每一列都是一个m 维列向量，故矩阵A 有n 个列向量.
称为矩阵A 的列向量组.(www.xing528.com)
定理17.3 矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩.
根据定理17.3，我们可以将向量组的秩的计算转化为求矩阵的秩.
【例17.7】 求下列向量组的秩：
【解】 先把向量α1，α2，α3，α4 按行向量形式构成一个矩阵A，然后利用初等变换求出矩阵A 的秩，即
于是r（α1，α2，α3，α4）＝2.
【例17.8】 讨论向量组α1 ＝（1，2，3，4），α2 ＝（－1，0，2，0），α3 ＝（－2，3，0，1），α4 ＝（2，1，4，0）的线性相关性.
于是r（α1，α2，α3，α4）＝4，因此向量组α1，α2，α3，α4 线性无关.
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