初等矩阵在《高等数学基础（下）》一书中

定义16.17　由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，也称为初等方阵.

对应于三种初等变换，可以得到三类初等矩阵.例如，对于三阶单位矩阵

交换E3 的第一、二行（或第一、二列），得到第一类初等矩阵，记作

用（－2）乘以E3 的第三行（或第三列），得到第二类初等矩阵，记作

将E3 第一行的3 倍加到第二行（或第二列的3 倍加到第一列），得到第三类初等矩阵，记作

需要注意的是：三阶初等矩阵的记号P［1（3），2］，也表示将单位矩阵第二列的3 倍加到第一列所得到的初等矩阵，即

类似地，将n 阶单位矩阵E 经过一次初等变换得到的三类初等矩阵依次记作(www.xing528.com)

因此，n 阶初等矩阵的记号P［i（k），j］，既表示将n 阶单位矩阵E 第i 行的k 倍加到第j 行，同时也表示将E 第j 列的k 倍加到第i 列所得到的初等矩阵，在使用时要注意区别.

（2）分别用下列初等矩阵右乘矩阵A：

由此例可以看出矩阵的初等变换和初等矩阵之间的关系，总结如下：　

性质1　设A 是一个m×n 矩阵，对矩阵A 施行一次初等行变换，相当于在矩阵A 的左边乘相应的m 阶初等矩阵；对矩阵A 施行一次初等列变换，相当于在矩阵A 的右边乘相应的n 阶初等矩阵.　

性质2　方阵A 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2，…，Pl，使A ＝P1P2…Pl.

性质3　方阵A 可逆的充要条件是A～E.