矩阵的初等变换是研究矩阵理论的重要内容，也是求解逆矩阵、计算矩阵的秩、求解线性方程组的重要工具.
先来看用消元法求解线性方程组的问题.在用消元法求解线性方程组时，经常反复使用以下三个步骤：
（1）互换方程组中两个方程的位置；
（2）给某一个方程的两边同时乘以一个非零常数；
（3）将一个方程的两边乘以一个数加到另一方程中去.
显然，这三个步骤不会改变方程组的解，但却可以使方程组的增广矩阵发生改变.
例如，设三元一次方程组为
其增广矩阵为
如果互换方程组中第一、第三两个方程的位置，相当于互换其增广矩阵中第一、第三两行的位置，即
如果给方程组的第二个方程的两边同时乘以6（去分母），相当于给增广矩阵中第二行的每一个元素都乘以6，即
如果将方程组的第三个方程的两边乘以－2 加到第一个方程中（消元），相当于将增广矩阵中第三行的元素都乘以－2 再加到第一行中，即(www.xing528.com)
把方程组的上述三种同解变换运用到矩阵上，就得到矩阵的三种初等变换.
定义16.13 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换：
（1）互换矩阵中任意两行的位置（简称互换）；
（2）给矩阵的某一行的所有元素乘以一个不为0 的数（简称数乘）；
（3）将矩阵中某一行的倍数加到另一行上去（简称倍加）.
为了讨论问题方便，用记号ri 表示矩阵的第i 行，将矩阵的第i 行与第j 行交换记为“ri↔rj”，将矩阵的第i 行乘k（k≠0）记为“kri”，将矩阵的第i 行乘k 加到第j 行上记为“rj＋kri”.
若将初等行变换中的“行”变成“列”，得到的定义称为初等列变换（所用记号把“r”换成“c”）.
初等行变换与初等列变换统称为初等变换.
结合实例可知：初等变换可以使矩阵发生改变，但不改变矩阵的本质特征.
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