矩阵的线性运算及其应用

在引例2 中，要分别计算该工厂的3 种产品2017 年与2018 年在3 个销售地的销量和可按如下方法进行

定义16.2　设有两个同型的m ×n 矩阵A ＝（aij），B ＝（bij），将它们对应位置上的元素分别相加得到的m × n 矩阵称为矩阵A 与B 的和，记作A ＋B，即

矩阵的加法满足下列运算规律：

（1）交换律：A＋B＝B＋A；

（2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）.

定义16.3　设有两个同型的m×n 矩阵A＝（aij），B＝（bij），将它们对应位置上的元素分别相减得到的m×n 矩阵称为矩阵A 与B 的差，记作A－B，即

在引例2 中，若该工厂计划2019 年3 种产品在3 个销售地的销量比2018 年都增长10%，则2019 年这3 种产品在3 个销售地的销量可按如下方法进行计算.

定义16.4　用数λ 乘矩阵A 的每一个元素所得到的矩阵，称为数λ 与矩阵A 的积，简称为数乘，记作λA.即如果A＝（aij）m×n，则(www.xing528.com)

特别地，称（－1）·A＝－A 为矩阵A 的负矩阵，有

这说明两个矩阵的差可以看成是一个矩阵与另一个负矩阵的和.

数乘矩阵满足下列运算性质（设A，B，C 都是m × n 矩阵，k，l 为常数）：

（1） 分配律：k（A ＋B）＝kA ＋kB，（k ＋l）A ＝kA ＋lA；

（2） 结合律：k（lA）＝（kl）A.

矩阵的加（减） 法和数乘运算统称为矩阵的线性运算.