行列式性质：高等数学基础（下）

利用行列式的定义可以证明行列式的以下性质.这些性质常常用来简化行列式的计算.设n 阶行列式

记

行列式DT 称为行列式D 的转置行列式.

性质1　行列式与它的转置行列式相等，即D＝DT.

这个性质说明了行列式中行与列具有相同的地位，因此行列式中凡是对行成立的性质对列也成立；反之亦然.

性质2　互换行列式中任意两行（列），行列式改变符号.

为了讨论问题方便，用ri 表示行列式的第i 行，用ci 表示第i 列，用“ri↔rj” 表示将第i行与第j 行交换，用“ci↔cj” 表示将第i 列与第j 列交换. 例如

对性质2，有如下推论：

推论　如果行列式中有两行（列）完全相同，则行列式的值为零.(www.xing528.com)

如设行列式D 有某两行相同，交换这两行，有D＝－D，故D＝0.

性质3　行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k 乘这个行列式，即

通常情况下，用kri（kcj）表示以数k 乘以行列式中的第i 行（第j 列）.

推论　行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面，例如

性质4　行列式中如果有两行（列）对应元素成比例，则此行列式的值为零.

性质5　若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式的和，且这两个行列式除这一行（列）以外，其余元素与原行列式的对应元素相同，即

性质6　把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一个数，然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变.

将第i 行的各元素乘k 后加到第j 行上记作rj＋kri，以数k 乘第i 列加到第j 列上，记作cj＋kci，即