函数展成傅里叶级数的延拓方法

在实际问题中（如波动问题、热传导问题、扩散问题等），需要将定义在有限区间上的非周期函数展开为傅里叶级数，这里仅讨论将定义在［－π，π］和定义在［0，π］上的函数展开成傅里叶级数的问题.其基本方法是将函数延拓成周期为2π 的周期函数，再展开成傅里叶级数，简称为周期延拓，特别情况下，还有奇延拓与偶延拓，现分述如下.

1）周期延拓

【例13.25】　将函数f（x）＝x，x∈［－π，π］展开成傅里叶级数.

【解】　因为函数f（x）定义在［－π，π］上，将其进行周期延拓如图13.7 所示（虚线为延拓后的图形），由图可知延拓后函数满足收敛定理条件，且除点x ＝±π，±3π，±5π…外处处连续，于是此函数的傅里叶级数在（－π，π）内收敛于f（x），而在端点x ＝±π 处间断，因而此处级数收敛于

图13.7

又因为f（x）是奇函数，其傅里叶级数为正弦级数，所以

因此，f（x）的傅里叶级数的展开式

且在端点x ＝±π 处级数收敛于0.

同样，因函数大都满足收敛定理条件，以后也不必赘述收敛定理条件，只需确定给定区间内的连续性，即可确定x 成立的范围即为给定区间内除间断点外的一切实数，并且在间断点处傅氏级数收敛于间断点的左、右极限的算术平均值.

2）奇延拓

设函数f（x）定义在［0，π］上，且满足收敛定理的条件，如需将其展成正弦级数，可先在（－π，0）内补充f（x）的定义：令F（－x）＝－F（x），使其延拓成（－π，π）内的奇函数，再延拓成周期为2π 的周期函数F（x），然后将F（x）展开成傅里叶级数，此时的傅里叶级数就是正弦级数，最后将其定义域限制为（0，π），就得到f（x）在（0，π）的正弦级数，并且在端点x ＝0，x ＝π 处，级数收敛于端点处的左、右极限的算术平均值.

【例13.26】　将函数f（x）＝x（0≤x≤π）展开成正弦级数.

【解】　将f（x）奇延拓，延拓后函数在［0，π］上除右端点x ＝π 外都连续，如图13.8 所示.

又因为其傅里叶系数

图13.8

所以f（x）的正弦级数

比较例13.25 与例13.26 可知，例13.26 延拓后的函数就是例13.25 的函数，因此它们的傅里叶级数展开式相同，由于例13.26 只需求［0，π］上的傅里叶级数，所以x 成立的范围就限制在该区间上了.

3）偶延拓

设函数f（x）定义在［0，π］上，且满足收敛定理的条件，如需将其展开成余弦级数，可先在（－π，0）内补充f（x）定义：令F（－x）＝F（x），使其延拓成（－π，π）内的偶函数，再延拓成周期为2π 的周期函数F（x），最后将F（x）展开成傅里叶级数，此时的傅里叶级数就是余弦级数，最后将其定义域限制在（0，π）内，就得到f（x）在（0，π）内的余弦级数，并且在端点x ＝0，π 处，级数收敛于端点处的左、右极限的算术平均值.

【例13.27】　将函数f（x）＝x　（0≤x≤π）展开成余弦级数.

【解】　将f（x）偶延拓，如图13.9 所示，函数在［0，π］上处处连续.(www.xing528.com)

又因为其傅里叶系数　bn ＝0　（n ＝1，2，…）

图13.9

所以f（x）的余弦级数展开式为

例13.27 与例13.24 比较，例13.27 延拓后的函数就是例13.24 的函数，因此它们的傅里叶级数展开式也相同，但x 成立的范围不一致.