任意项级数的审敛法详解

任意项级数就是通项为可正或可负的级数，也称为一般项级数.由于任意项级数的审敛法比较复杂.因此，首先讨论形式比较简单的交错级数，它的各项是正负相间的.

1）交错级数及其审敛法

定义13.4　正负相间的级数，称为交错级数.其一般形式可写成

或

莱布尼茨（Leibniz）给出了交错级数的审敛法.

莱布尼茨判别法所给条件（1）是充分非必要条件，但条件（2）却是必要条件.也就是说如果不满足条件（1），即un＋1＞un（n ＝1，2，…），交错级数也可能是收敛的；但如果不满足条件（2），即lim n→∞un≠0，则级数一定发散.还需说明一点，定理最后关于级数和的结论在近似计算及误差估计中有着重要作用.

所以级数收敛，且其和s＜1.

若取前n 项的和(www.xing528.com)

故原级数收敛.

故原级数发散.

2）绝对收敛与条件收敛

由于任意项级数的敛散性判定较为复杂，通常可先对级数各项取绝对值，使其成为正项级数，再利用正项级数审敛法加以判定.那么，这样形成的正项级数与原任意项级数的敛散性有何关联呢？ 下面将给出绝对收敛与条件收敛的概念.

前面学习交错级数审敛法时，提到过如果不满足莱布尼茨判别法的条件（1），即un＋1＞un（n ＝1，2，…），交错级数也可能是收敛的，这样的实例可参见二维码内容.

因此，在讨论任意项级数（包括交错级数）的敛散性时，应先考虑其是否绝对收敛，这样更为简便和稳妥.