在直角坐标系中计算二重积分

在直角坐标系中常采用平行于Ox 轴和Oy 轴的直线网把区域D 分割成许多小矩形，这样面积元素dσ＝dxdy，于是二重积分可写成

二重积分的计算与积分区域D 的结构密切相关，沿用求平面图形面积的分析方法，将D 分成X⁃型区域和Y⁃型区域，把二重积分转换为分别对两个变量x，y 的先后两次积分来计算.

图12.6

图12.7

（1）X⁃型区域：a≤x≤b，g（x）≤y≤f（x）（图12.6）

称右端的积分为先对y 再对x 的两次积分.

（2）Y⁃型区域：c≤y≤d，ψ（y）≤x≤φ（y）（图12.7）

称右端的积分为先对x 再对y 的两次积分.

计算二重积分的基本步骤（以X⁃型区域为例）：

（1）将区域D 投影到x 轴上得到区间［a，b］，端点a，b 一般与D 的边界曲线的交点有关（图12.8）.

（2）在［a，b］上任取一点作平行于y 轴的箭线，第一次与箭线相交的边界线设为y ＝φ1（x），称为入口曲线；第二次与箭线相交的边界线设为y ＝φ2（x），称为出口曲线.于是积分区域D 表示为

得到对x 积分的下限是a，上限是b；对y 积分的下限是φ1（x），上限是φ2（x）.

图12.8

图12.9

【例12.18】　计算函数z＝xy2在矩形区域D：0≤x≤1，1≤y≤2 上的二重积分.

【解】　作出区域D 的图形（图12.9），这是矩形区域，化成二次积分时，积分的上、下限均为常数，如果先对y 积分，后对x 积分，有

如果先对x 积分，后对y 积分，则

【解】　由直线y ＝x 与抛物线y ＝x2可得交点坐标为（0，0）与（1，1）.

（1）若将区域D 看成X⁃型区域，作平行于y 轴的箭线（图12.10），则入口曲线是y ＝x2，出口曲线是y ＝x，那么区域D 可表示为

则

图12.10　

图12.11　

则

【解】　曲线的交点坐标为（1，－1）与（4，2），画出区域D 的图形（图12.12），以Y⁃型区域来表示D： － 1 ≤y ≤2，y2 ≤x ≤y ＋2，则有

图12.12

【解】　图12.13（a）为立体示意图，图12.13（b）是立体底面区域的图形，且是X⁃型，由二重积分几何意义可得所求体积为(www.xing528.com)

图12.13