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高等数学基础(下):二重积分定义简解

时间:2023-11-18 理论教育 版权反馈
【摘要】:定义12.9设f(x,y)是定义在有界闭区域D 上的连续函数,将D 任意分割成n 个小区域Δσi(i=1,2,…

高等数学基础(下):二重积分定义简解

定义12.9 设f(x,y)是定义在有界闭区域D 上的连续函数,将D 任意分割成n 个小区域Δσi(i=1,2,…,n),其中,Δσi表示第i 个小区域,也表示它的面积,在每个小区域Δσi内任取一点(ξi,ηi)作和式

如果当各个小区域的直径中的最大值λ 趋于零时,上述和式的极限存在,且极限值与对区域D 的分法及对Δσi上点(ξi,ηi)的取法无关,则称该极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分,记作

按照二重积分定义,只有当和式极限存在时,f(x,y)在闭区域D 上的积分才存在,也称f(x,y)在D 上可积.函数f(x,y)在区域D 上应满足什么条件,才能保证它可积呢?

二重积分存在定理 如果函数f(x,y)在闭区域D 上连续,则f(x,y)在D 上的二重积分必存在,即f(x,y)在D 上可积.

二重积分的几何意义与定积分的几何意义一样,也分为3 种情况:(www.xing528.com)

(1)非负连续函数f(x,y)在区域D 上的二重积分表示以D 为底,以z =f(x,y)为顶的曲顶柱体体积,即

(2)如果在区域D 上f(x,y)<0,曲顶柱体就在xOy 面的下方,二重积分的值就是负的,则曲顶柱体的体积

这表明,二重积分的绝对值才表示曲顶柱体的体积.

(3)如果f(x,y)在D 的某些区域上是正的,在某些区域上是负的,可以规定在xOy 面上方的曲顶柱体体积为正,在xOy 面下方的柱体体积为负.这样二重积分就等于这些部分区域上曲顶柱体体积的代数和.

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