求曲顶柱体的体积-高等数学基础（下）

图12.5

设有一个立体，底是xOy 面上的一个有界闭区域D，侧面是以D 的边界为准线且母线平行于Oz 轴的柱面，顶是由二元连续函数z ＝f（x，y）所表示的曲面，设f（x，y）≥0，这样的立体称为曲顶柱体（图12.5）.

如何求曲顶柱体的体积呢？ 借鉴求曲边梯形面积的方法，按下列步骤计算.

（1）分割：将区域D 任意分成有限个小区域，记为Δσ1，Δσ2，…，Δσi，…，Δσn.其中，Δσi 表示第i 个小区域，同时也代表它的面积.以每个小区域为底，以它们的边界曲线为准线，作母线平行于z 轴的小曲顶柱体，这样就把曲顶柱体分成n 个窄曲顶柱体.

（2）近似：对每个小曲顶柱体，当区域Δσi 足够小时，由于f（x，y）连续，其高度变化不大，可以近似地看成平顶柱体.在Δσi上任取一点（xi，yi），把以f（xi，yi）为高、Δσi为底的窄平顶柱体体积，作为相应的窄曲顶柱体体积的近似值，记作

（3）求和：把这些窄曲顶柱体体积的近似值加起来，便得到曲顶柱体体积V 的近似值，即

（4）取极限：把D 分割得越细密，则上述和式就越接近曲顶柱体的体积.当把区域D 无限细分，即当n 无限增大，而使n 个小区域Δσi中直径的最大值（记作λ）趋于零时，若上述和式的极限存在，则此极限就为所求曲顶柱体的体积，即(www.xing528.com)

从数学上加以抽象，引入二重积分的概念.