高等数学基础（下）-条件极值

前面所讨论的极值问题，自变量的变化是在函数的定义域内，除此之外没有其他附加条件的限制，这种极值称为无条件极值.还有一类，函数的自变量要满足某些附加条件的极值问题，这类极值问题称为条件极值.关于条件极值的求法，一般有两种方法.

1）转化为无条件极值

对一些较简单的条件极值问题，一般利用附加条件消去函数中的某些自变量，将条件极值转化为无条件极值来处理.如例12.16 中的问题实际上是求表面积S ＝xy＋（2x＋2y）z，在条件V＝xyz 下的极值，这是一个条件极值.

而一般的条件极值问题，要转化成无条件极值问题往往比较困难.下面学习一种求条件极值常用的方法——拉格朗日乘数法.

2）拉格朗日乘数法

求函数z＝f（x，y）在条件φ（x，y）＝0 下的可能极值点，其步骤如下：

（1）构造辅助函数

其中，λ 为参数，称为拉格朗日系数；(www.xing528.com)

（2）将函数F（x，y）分别对x 和y 求偏导数，并令它们都等于零，然后与方程φ（x，y）＝0联立组成方程组

（3）求出方程组的解x ＝x0，y ＝y0，λ ＝λ0（解可能多于一组），则点（x0，y0）就可能是极值点的坐标.至于所求得的点是否为极值点，在实际问题中往往根据问题本身的具体意义来判定.

【例12.17】　利用拉格朗日乘数法解例12.16 的问题.

【解】　设长方体表面积为S，长、宽、高分别为x，y，z，则所要解决的问题是求函数S ＝xy＋（2x＋2y）z 在附加条件V＝xyz 下的最小值.

作辅助函数

求出函数的偏导数并令它们都等于零，得方程组为

由前三个方程解得x ＝y ＝2z，代入第四个方程，得