高等数学基础（下）：极值的必要与充分条件

定理12.7（极值存在的必要条件）　设函数z＝f（x，y）在点（x0，y0）处取得极值，且f（x，y）在该点处的偏导数存在，则必有

但当x ＝0，y≠0 时， f（0，y）＝－y2＜0；

当y ＝0，x≠0 时， f（x，0）＝x2＞0.

因而f（0，0）不是极值，此函数无极值（图12.4）.

图12.4

由此可知，驻点不一定是极值点.

定理12.8（极值的充分条件）　设函数z＝f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内连续，且有二阶连续偏导数，又f′x（x0，y0）＝0， f′y（x0，y0）＝0，并记

可得出：（1）当Δ＜0 时，函数f（x，y）在点（x0，y0）处有极值，且当A＜0 时有极大值.当A＞0 时有极小值；

（2）当Δ＞0 时，函数f（x，y）在（x0，y0）处无极值；

（3）当Δ＝0 时，函数f（x，y）在（x0，y0）处可能有极值，也可能没有极值.

由定理12.7 和定理12.8 可知，求二元函数z＝f（x，y）的极值步骤如下：

（1）先求出偏导数f′x， f′y， f″xx， f″xy， f″yy；

（3）对每一个驻点（x0，y0），求出相应的A，B，C；

（4）利用判别式Δ＝B2－AC 的符号，确定（x0，y0）是否为极值点，若是极值点，再利用A的符号来判断在极值点处是取得极大值还是极小值，并求出极值.

【例12.15】　求函数f（x，y）＝x3＋y3－3xy 的极值.

【解】　函数的一阶偏导数为(www.xing528.com)

二阶偏导数为

在点（0，0）处，A＝0，B ＝－3，C ＝0，得

可得在（0，0）处无极值.

在点（1，1）处，A＝6，B ＝－3，C ＝6，得

可得在（1，1）处有极值，且由A＝6＞0 知，在该点处取得极小值，极小值为