高数基础（下）-偏导数概念

用类似于全增量的定义方法来定义偏增量.

定义12.5　设函数z＝f（x，y）在点（x0，y0）的某一邻域内有定义，当自变量y 取固定值y0，而自变量x 在x0处有增量Δx 时，函数相应的增量称为函数z ＝f（x，y）在点（x0，y0）处关于自变量x 的偏增量，记作Δzx，即

类似地，函数z＝f（x，y）在点（x0，y0）处关于自变量y 的偏增量记为

为了讨论z＝f（x，y）的变化率，我们把问题简单化，分别讨论在两个变量独立变化时，相应的函数变量的变化.即假定两个自变量中有一个改变，另一个保持不变，从而将其转化为一元函数，再利用导数的概念来分析函数的变化率，于是就有了二元函数的偏导数概念.　

定义12.6　设函数z＝f（x，y）在点P0（x0，y0）的某一邻域内有定义，若极限

存在，则称此极限值为函数z＝f（x，y）在点P0处对x 的偏导数，记作(www.xing528.com)

若极限

存在，则称此极限值为函数z＝f（x，y）在点P0处对y 的偏导数，记作

如果二元函数z ＝f（x，y）在区域D 上的每一点处都有对x 的偏导数，这个偏导数仍是x，y 的函数，称为z＝f（x，y）对自变量x 的偏导函数，简称偏导数，记作

同理，二元函数z＝f（x，y）对y 的偏导数记作

二元函数偏导数的概念可以推广到n 元函数的偏导数上.偏导数是函数对每一个自变量的相对变化率，所以n 元函数有n 个偏导数.如三元函数u ＝f（x，y，z）对x 的偏导数定义为