定义12.4 设函数z＝f（x，y）的定义域为D，点P0（x0，y0）∈D，若
则称函数z＝f（x，y）在点P0（x0，y0）处连续，函数在区域D 的每一点都连续，则称该函数在区域D 连续，或是区域D 上的连续函数.
在点P0（x0，y0）处分别给z＝f（x，y）的自变量x 与y 一个增量Δx 与Δy，相应的函数的增量Δz 称为全增量，即
通常也用上式来判别二元函数的连续问题.
【例12.4】 证明z＝x＋y2在整个平面内连续.
【证明】 在xOy 平面内任取一点（x，y），分别给x，y 一个增量Δx，Δy，得全增量
【例12.5】 讨论函数
在点（0，0）处的连续性.
【解】 取y ＝kx，有(www.xing528.com)
其值随k 的变化而变化，极限不存在，故函数在点（0，0）处不连续.
如果z＝f（x，y）在P0（x0，y0）不满足上述连续定义，则称z ＝f（x，y）在P0（x0，y0）是间断的，P0（x0，y0）称为z＝f（x，y）的一个间断点.
与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数.由x和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合可用一个式子表示的函数称为二元初等函数.可以证明：二元初等函数在其定义区域内都是连续的.利用这个结论，可以方便地求出二元初等函数在其定义区域内某一点的极限，该点处的函数值即为极限值，有
特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理.下面我们不加证明地列出这些定理.
定理12.1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D 上的二元连续函数，在D 上一定存在最大值和最小值.
定理12.2（介值定理） 若z＝f（x，y）在有界闭区域D 上连续，m 与M 分别是z＝f（x，y）在D 上的最小值与最大值，则对m 与M 之间的任意实数η，即m≤η≤M，在闭区域D 上至少有一点（x0，y0）使得f（x0，y0）＝η.
推广：在有界闭区域D 上的二元连续函数，若在D 上取得两个不同的函数值，则其在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次.
定理12.3（有界性定理） 在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界.
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