平面一般方程：高等数学基础（下）

由例11.4 可以看出，例题中平面的方程是一个三元一次方程.事实上可以证明，空间中的平面都可以用一个三元一次方程来表示.反之，三元一次方程的图形都是平面，我们称三元一次方程

为平面的一般方程.

称上式为平面的点法式方程.由点法式方程可知，平面的一般式方程中x，y，z 的系数就是平面的一个法向量.

【例11.6】　已知点P（－1，－2，1）是平面α 上的一点，n ＝（2，3，－2）是平面α 的一个法向量，求平面α 的方程.

【解】　由平面点法式方程得　

整理得平面α 的方程为

平面与x 轴的交点的横坐标称为平面的横截距，记为a；平面与y 轴交点的纵坐标称为平面的纵截距，记为b；平面与z 轴交点的竖坐标称为平面的竖截距，记为c.

横截距为a 且垂直于x 轴的平面方程为x ＝a.

纵截距为b 且垂直于y 轴的平面方程为y ＝b.

竖截距为c 且垂直于z 轴的平面方程为z＝c.

若a，b，c 均不为0，则平面的方程可化为

称上式为平面的截距式方程.

【例11.7】　在空间直角坐标系中画出下列方程所表示的平面：

（1）2x＋y＋4z－4 ＝0；

（2）2x＋y－4 ＝0；

（3）z＝2.(www.xing528.com)

【解】　（1）2x＋y＋4z－4 ＝0 的截距式方程为

因此，平面的横、 纵、 竖截距依次为2，4，1，如图11.6（a）所示.

（2）2x＋y－4＝0 的法向量为（2，1，0），与z 轴垂直，因此该平面与z 轴平行，如图11.6（b）所示.

（3）z＝2 表示经过点（0，0，2）且与面xOy 平行的平面，如图11.6（c）所示.

图11.6