趣味几何学：解锁铁匠的难题

题：有人让铁匠帮他用一块60平方厘米的铁皮做一个没有盖子的铁皮盒子，要求盖底是正方形的，铁皮盒子的容量要达到最大，铁匠用尺子反复地测量，思考要把铁皮的四边折进去多宽。如图12-10所示，他正在苦思冥想，你能帮他解决问题吗？

图12-10 铁匠的难题

解：如图12-11所示，设折边宽度为x厘米，那么铁盒子的正方形盒底宽度为（60－2x）厘米，铁盒的容积V为：

图12-11 铁匠题目的解法示意图

V＝（60－2x）（60－2x）x

要使乘积值最大，那么x值为多少？如果三个乘数之和是定值，那么必须三个乘数都相等，这时它们的乘积值才最大。但三个乘数和60－2x＋60－2x＋x＝120－3x，这个值并不是定值，它会随着x的变化而变化。但只要把上式等号两边的数乘以4就可以使三个乘数之和为定值了：

4V＝（60－2x）（60－2x）4x(www.xing528.com)

乘数之和为：

60－2x＋60－2x＋4x＝120，

这个值就是一个定值了。就是说，几个乘数的乘积在它们相等时，值最大，所以

60－2x＝4x，

所以x＝10。

这时，V的值也最大。

也就是说，把铁皮的每一边折进去10厘米，制作出来的铁皮盒子容量最大。容积为40×40×10＝16 000立方厘米。如果多折或少折一厘米，盒子的容量都会比这个数值小。的确是这样的，你可以计算看看：

9×42×42＝15 876立方厘米，11×38×38＝15 884立方厘米，这两种情况下，容量都比160 00立方厘米小^[4]。