趣味几何学：用台球解题，创造特殊台球台子

上一节中，我们在解决台球的问题时运用了几何学的知识，解答起来并不复杂，下面这个有趣的问题，我们要利用台球来解答问题，在知道如何计算的方法和程序后就可以利用运算的机器来完成这项工作了。所以人们发明了很多计算的机器，从简单的计算器到可以进行高级复杂运算的电脑，计算得又快又准。

这道题目是人们闲来无事的时候作为消遣的题目，就是如何借助两个已知容量的器皿，从一个装满水的已知大小的容器中倒出一部分。让我们来看一道实际的题目：

这里有三种水桶，水桶容积分别为12升、9升和5升，在12升的桶里装满了水，另两个为空桶，如果想用这两个空桶将大桶中的水分成两等分需要怎么做呢？想要完成这道题目并不用找来几个真正的木桶来做实验，只要在纸上画一张示意图就能完成。在下表中，一共有九栏，也就是想要完成等分需要倒九次，每栏中都表明了每次倒后木桶中的水量。

第一栏中：把12升的水倒入5升的桶中，那么9升桶是空的，5升桶就是满的。

第二栏中：把12升中剩余的7升水倒入9升桶中。

按照图中所显示的顺序依次倒水。这样进行九次后就能完成等分了。当然你还可以想出其他的方法来解答这个问题，那么如果有一个固定的顺序用于倾倒各种容量的液体就会让这些问题变得容易多了。还有一个问题就是，能不能利用两个容器从第三个容器中倒出想要的任何数量的水呢？比如上一题中如果不是要求等分，而是倒出1升或者3升等水量的水也是可以的吗？这些问题我们就要利用到上面提到的台球来解决了，你一定十分惊讶，台球也可以自己解题吗？

其实我们是要给台球造一个特殊的“台球台子”。我们需要找来一张纸，在上面按照图10-12上面的样子画出斜格子OABCD，这些斜格子都是完全一样的菱形，菱形的锐角为60度。在这张特殊的台球台子上，如果击球的方向是沿着OA的，那么假如台球会严格按照反射定律滚动，那么它就会在AD边反弹，然后按照图中菱形的进行规律运动，先直线Ac4滚动，然后到达c4点后撞到台边BC，继续沿着直线c4a4滚动，接着依次沿着直线a4b4，b4d4，d4a8等线滚动。

在前面的题目中，我们是有三个不同容量的桶，分别是9升桶、5升桶和12升桶。那么我们的图形就应该做成OA为九个格，OB为五个格，AD边有三个（12-9=3）格，BC边含七个（12-5=7）格。在图上的每一点，和OB、OA两边都有一点过的距离。比如：c4点距离OB边有四格，距离OA边有五格；还有d4点距离OB边有四格，（因为它本身就处在OA边上，所以距离OA边有0格；再比如J4点距离OB边有八格，距离OA边有四格等等。这样在图形的边上每个点都决定两个数字。

这两个数字中，一个点是距离OA边的距离，决定了5升桶中水的数量，一个点是距离OB边的距离，决定了9升桶中水的数量，而剩余的水量就是12升里面的数量了。

那么，我们现在已经要把用台球来解答这道题目的准备工作完成了，下面就开始真正的解题步骤。将球沿着OA撞击出去，它碰到台边就会发生反射，然后碰到另一个台边，最后滚到a6这一点，如图10-12，我们可以写出它每次碰撞的时候三个桶中水的变化：

图10-12 “聪明”台球的解题法

第一次碰撞：撞到边的点的坐标为A（9；0）：这就代表着，第一次倒水应当按照下列要求分配水量：

这样第一步就完成了，下面按照台球的轨迹继续。

第二次碰撞：撞到边的点的坐标为c4（4；5）；这就代表着，台球告诉我们第二次倒水应按照下列要求分配水量：

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第三次碰撞：撞到边的点的坐标为a4（4；0）；这就代表着，台球告诉我们第三次倒水应按照下列要求分配水量：

第三次倒水的过程也完成了，小球依然向前滚动。

第四次碰撞：撞到边的点的坐标为b4（0；4）；这就代表着，台球告诉我们第四次倒水应按照下列要求分配水量：

第五次碰撞：撞到边的点的坐标为d4（8；4）；这就代表着，台球告诉我们第五次倒水应按照下列要求分配水量：

这样按照台球的滚动而完成了一系列的倾倒工作，这样两个水桶中也完成了等分的工作，分别有6升水，但是这个过程十分的漫长，需要十八步才能完成，远没有我们前面介绍的第一个方法好，只需要九步就能解决问题。

不过如果从不同的点击球，是可以有不同的方法的，比如如图10-12，让球停在B点，然后沿着BC线击出，这样，台球按照规律滚动就会比刚才简单很多，台球从BC边折回然后沿着Ba5滚动，依次沿着a5c5、c5d1、d1b1、b1a1、a1c1，直到最后沿着c1a6。总共只需要八个步骤，如果将每一个点翻译出来，如下表所示：

不过同类的题目可能无法都有答案，因为有一种情形就是返回到O点而撞不到要求的点上，这样也就解答不出来。比如如图10-13如果用9升、7升从12升的桶中倒水出来，用台球解题法，可以倒出任意水量的水，但是唯独无法将它们平分，也就是得不到六升的水，还比如，用3升、6升和8升这三种容量的桶解题（图10-14），台球撞边四次后会回到O点，从下表可以知道不可能从这个八升的水桶中倒出四升或者一升的水来。

图10-13 “台球解题法”表明无法用9升和7升空桶把装满了的12升桶里的水一分为二的

虽然有些特殊的水量会解答不出来，但是用台球和特殊的台球台子作为计算机，对这类问题的解答也算是完成得很不错了。

图10-14 和倒水有关的另一个题目的解法示意图