趣味几何学：硬币旋转计算

题：如图9-5所示，这是八个大小相同的硬币。其中七个硬币被涂上了阴影线，它们是静止不动的，第八个没有阴影线，它沿着七个硬币的边缘滚动（不是滑动）。这枚硬币绕着这七个硬币一周，要自转多少圈？

要解答这个题目，你可以动手操作一下。把八个大小相同的硬币摆放在桌上。按图9-5中把七个硬币固定住，把第八个硬币沿着七个硬币的边缘滚动，你要看好硬币上的数字，当数字回到起始位置，就说明它转了一圈。

这个实验你要实实在在地做一遍，而不要只凭想象，做过实验后你会发现，这枚硬币只需要转动四圈。

现在让我们来思考这道题，解出它的答案。

首先我们先要知道，滚动的硬币在绕过每一个静止不动的硬币时画出的弧线是什么样的。我们可以想象一下，移动的圆从“土丘”A上向两个静止不动的圆之间的最近的一个“地沟”滚动（图9-5虚线）。

图9-5 无阴影线的硬币绕着有阴影线的硬币滚一周，会自转多少圈

所以说如果滚动的圆沿着曲线或折线的路径滚动，那么它的自转圈数就和沿着同样长度的直线路径滚动的圈数不同。

这个问题我们还要再对它作一些几何学方面的解释，否则这样简单的解释很难让人信服。(www.xing528.com)

假设一个圆沿着一条直线滚动，圆的半径为r。它在AB线段上转动了一圈，这条线段的长度就是圆的圆周长（2πr）。现在我们在AB直线段的中心处C点把它折弯（图9-6），并把CB线段折成相对于初始位置成a角的方向。

图9-6 滚动的圆沿着折线滚动产生的空转原理

这时，滚动的圆滚动了半圈时到了C点处，为了使它还会在CB线段上的C点滚动，和自己的中心一起转向与a角相等的角度（两个角度各有相互垂直的边，且两角相等）。

滚动的圆沿着线段滚动到折线的位置，但没有再向前移动。这就造成了比沿直线滚动转动一整圈多出来的空转部分。这个空转部分占了旋转一整圈的一部分，这部分就构成了a角和2π的比，也就是。滚动的圆沿着CB线段转动了半圈，沿着折线ACB却只转动了1＋圈。

如图9-7所示，你应该知道这个动圆沿着一个正六边形的外沿滚动要转多少周了。显然，它转动的周数是它沿直线路径可能转动的周数，这个路径和一个六角形的周长相等（边长总和），再加上等于六角形六个外角和除以2π的商数的圈数。由于任意一个外边形的外角和是相等的，等于2π，则＝1。

图9-7 如果滚动的圆沿着多边形的外边滚动，而不是沿着多边形展开的周长滚动，它会多转几圈

滚动的圆绕着一个六边形或任何一个多边形滚动和绕着与这个多边形的周长相同的直线段上滚动时要多转一周。

一个多边形的边数无限增多，快要接近一个圆时，那么上述说法一样适用。也就是说，上述说法不仅对多边形适用，对于圆周也一样适用。在上述题目中，一个硬币在沿着和它相等的一个硬币的120°弧线滚动时，它滚动了周，而不是周，这样解释的话，就非常清楚了。