混沌时间序列预测理论与方法：预测性能评价准则

科学研究的最终目的是弄清楚事物之间的因果关系，其中包括事物发展的规律，即事物的过去、现在和将来。而预测正是根据事物自身的发展规律来揭示它的将来。通常的做法是根据实际问题正确地建立描述系统的动态数学模型，然后求解这个数学模型，最后反过来根据计算结果进行预测。分析观测时间序列的演变规律是掌握系统动力学特性的重要手段。随着混沌科学的发展，使得可以不必事先建立主观模型，而直接根据数据序列本身所计算出来的客观规律（如Lyapunov指数等）进行预测，这样可以避免人为主观性，提高预测的精度和可信度。

由于很多系统具有强非线性或尚未认识到系统机理，人们只能从观测数据得到系统动力学行为，即在重构相空间中拟合非线性映射函数F。常用方法有两种：全局模型方法和局部模型方法。全局模型利用一个在整个吸引子上都有效的模型描述系统的演化行为，如正交多项式方法和全局神经网络方法[1]。局部模型方法采用未知映射F连续的合理假设，引入邻近点概念，认为相空间中邻近点演化行为能够反映出待预测点的演化行为，并由此建立局部线性模型、局部二阶模型和局部高阶模型等基于Taylor展开的多项式模型，以及局部多层前向神经网络模型、局部径向基函数模型等神经网络非线性模型，利用这些模型来拟合反映吸引子局部动力学特性的线性或非线性映射。由于神经网络性能与训练数据有关，且受初始权重和训练算法影响，要给出比较可靠的结论需要大量数值试验。为分析各种模型情况下数值试验结果的优劣，需要建立统一、公正合理的误差函数体系。而目前在此研究领域中尚未给出比较完整的评价函数。本书中引入的若干误差评价函数从不同侧面反映了预测的效果，有着广泛的适用性，可以用来比较各种预测方法的预测能力。

Chen[1]、简相超[2]和罗俊峰[3]等提出了一些误差评价准则，从不同侧面反映预测效果，有着广泛的适用性。设y^（t）（t=1，2，…，S）为期望输出信号，y（t）（t=1，2，…，S）为模型预测输出信号，S为样本个数，本章采用6种评价准则对不同的预测模型作出比较，定量地反映各个模型的预测性能。

（1）均方根误差ERMSE

反映预测值对观测值的平均偏离程度。取值大于或等于零，预测无误差时等于零。

（2）相对均方误差ERe

反映预测值对观测值的平均相对偏离程度。取值大于或等于零，预测无误差时等于零。

（3）归一化绝对误差ENAE

将预测的平均绝对误差对观测值的均值归一化。预测无误差时等于0。(www.xing528.com)

（4）预测精度EPA

其中，ym和分别表示模型预测序列和期望序列的平均期望；σy和分别代表预测序列和期望序列的方差。

反映预测值在其均值附近的偏离与观测值在其均值附近的偏离之间的相关性。取值在+1和—1之间。EPA=1表明预测曲线与观测值曲线分别对自身的均值和标准差归一化后是一样的。预测无误差时值为1。

（5）决定度系数

反映预测数据对观测数据均值的偏离程度。取值大于等于零，预测无误差时等于1。

（6）偏差EBias

反映预测值对观测值的平均系统性的偏离。取值可正可负，取值为零时表明平均系统性偏离为零，预测无误差。

总的来说，均方根误差反映预测值对观测值的绝对偏离；相对均方根误差反映预测值对观测值的相对偏离；归一化绝对误差则将这种偏离与观测值的均值作比较；偏差反映了预测值与观测值之间的整体同向偏离；预测精度反映的是预测曲线与观测曲线之间形状相似（相关）程度；决定度系数则衡量了预测值对观测值均值的偏离程度与观测值方差的比值。这6种误差评价函数从不同侧面和角度描述了误差特征。