基于储备池的混沌时间序列直接预测

给定混沌时间序列﹛x（t）﹜，t=1，2，3，…，假设其嵌入维数为m，延迟时间为τ，那么可以得到重构的延迟坐标向量为

根据Takens定理，存在一个映射F（·）满足

假设x（k）通过函数g（·）观测重构的状态向量X（k）

另外有以下等式成立

进一步假设F0（·）≡0，那么式（5.92）可以表示成如下的状态空间表达式

(www.xing528.com)

式中：h为预测时域；[XT（t），XT（t+1），XT（t+2），…，XT（t+h）]T为预测时域h对应的增广状态向量。

注意状态空间表达式（5.93）并不是输入输出﹛X（t），x（t+h）﹜的唯一实现。

直接预测方法的基本思想是通过预测器直接建立预测原点和预测时域之间的关系[30，31]，不必应用迭代而进行多步预测。由式（5.93）表示的“系统”给出了预测原点和预测时域之间的定量关系。设置ESN的输入为X（t），即令U（t）=X（t），使网络输入包含预测原点信息。同时设置ESN的期望输出为x（t+h），即利用网络输出y（t+1）来逼近x（t+h）。训练由式（5.85）表示的回声状态网络，使之逼近由式（5.93）描述的系统。在直接预测方法中，可以设置h为不同的值，以实现对不同时域的预测。直接预测的原理如图5.14所示。

图5.14　基于储备池的直接预测方法原理图

直接预测方法的具体实现步骤如下：

（1）获得时间序列样本。进行混沌时间序列分析，初步确定延迟时间τ和嵌入维数m，进行延迟坐标重构，得到重构延迟坐标向量X（t）。

（2）确定训练样本长度Trn，根据预测时域h，确定输入输出样本对﹛X（t），x（t+h）﹜，t=1，2，3，…，Tn。初始化储备池，计算输出权值W。

（3）获取给定预测任务预测原点前一段足够长的时间点信息，按照延迟时间τ和嵌入维数m 进行延迟坐标重构，将重构得到的延迟坐标向量输入到回声状态网络，当网络运行经过预测原点时即可得到h步的预测结果。