混沌时间序列预测理论

相空间重构是混沌时间序列的重要研究手段。根据Takens定理，在观测序列的基础上，重构相空间中的状态向量为t=1，…，N。则相空间中必存在函数Fτ使得延时τ后的状态X（t+τ）和当前状态X（t）之间满足Fτ就是待寻找的预测函数。嵌入维数m 的选取可以通过尝试不同的值得到，也可以视情况选取不同的计算方法，如饱和关联维数法等。

用神经网络模拟式（5.38），即基于神经网络的强逼近能力，构建如下系统模型

其中，新息（t+τ）即为预测值。式（5.38）和式（5.39）的相似性，说明可以利用混沌相空间重构理论，获得有关神经网络构建的先验知识，以便合理构筑网络模型，使之更为符合现实系统的发展规律。

1.相空间信息在时间延迟神经网络中的体现

采用时间延迟神经网络进行序列建模和预测时，首先要考虑的问题是网络结构的设计问题。神经网络的拓扑结构不仅影响到网络的泛化能力，也同时影响网络的学习训练速度。针对多层反馈时间延迟神经网络，结合混沌理论，节点个数及网络延迟可以按下面原则选取：

输入层：设nI为输入层节点个数，对混沌系统如式（5.39），有

网络输入可分别对应x（t），x（t—τ），…，和x[t—（nI—1）τ]。

网络延迟：由式（5.39）可知，某一瞬时状态可由m 维的延迟坐标向量确定，也可以理解为，相空间中的某一相点可以影响它后m个延迟坐标向量，即

反映到网络结构上，网络包含的最大延迟时间需满足

根据节点所代表的状态之间的关系可以相应地确定节点之间的时间延迟，从而确定时间延迟网络结构。

对单层互联网络，构建网络结构转化为输入节点、连接节点和输出节点的个数，以及网络延迟的确定问题。设总的节点个数为n，则有

网络延迟同多层反馈网络，需要满足式（5.42）。

2.相空间重构直接多步预测的神经网络实现

相空间预测方法是混沌预测的一种基本方法。式（5.38）为相空间重构预测的一种实现形式。显然，τ=1时，该式和常用的自回归模型相似。二者的区别在于AR模型使用的是时间意义上相邻的点，而相空间模型使用的是动态意义上相邻的点，通常表现出强非线性，需要采用相应的非线性模型描述和预测方法。多重分支时间延迟神经网络是新兴发展的一种紧凑型网络，具有良好的时序特点。(www.xing528.com)

定理5.1[29]令h表示预测步数，hτ对应预测时间，﹛x（t）﹜为混沌时间序列，则对任意n≥m，在Rn空间中存在光滑函数Fτ满足

其中X（t）=﹛x（t），x（t—τ），…，x[t—（n—1）τ]﹜T，h=1，2，…。

证明：根据Takens定理，在Rn空间中存在函数满足

X（t+τ）=f1τ[X（t）]

因此

令投影g：Rn→R1为

则

其中Fτ的定义域与f1τ相同。

综上所述，采用时间延迟神经网络逼近式（5.44），网络结构可以参照前文讨论选定，考虑三种预测情况：

（1）理想建模。模型精确，无建模误差；时间序列无限长，无误差，嵌入延迟τ的选择不影响奇异吸引子的空间拓扑结构。此时直接选取τ=1，可以方便进行任意步数的预测。

（2）实际建模。由于噪声干扰，建模误差等原因，预测值和实际值之间必然存在误差。随着预测时间的延长，这种误差会迅速增大。因此针对实际观测序列，只能实现有限步内的预测。如何改进辨识方法，提高建模精度，进行尽可能长期的预测，是研究的重要内容之一。

（3）实际序列经过噪声消减。观测序列足够长，经过噪声消减，可近似于理想时间序列，影响预测性能的主要因素为模型精确度。考虑到预测时，较近的时间状态比较远的时间状态更为重要，也可选取τ=1。在可预测范围内，进行多步预测。